Элементарные преобразования матрицы и системы линейных уравнений. Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение системы линейных уравнений. Элементарные преобразования СЛУ. Элементарные преобразования матрицы. Задачи для самостоятельного решения
Ниже рассматриваются системы линейных уравнений над полем переменными ДООПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.
Следующие предложения выражают свойства равносильности, вытекающие из определения равносильности и отмеченных выше свойств следования систем.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем является следствием другой системы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда множество всех решений одной системы совпадает с множеством всех решений другой системы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Две системы линейных уравнений равносильны в том и только в том случае, если равносильны предикаты, определяемые этими системами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:
(а) умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на отличный от нуля скаляр;
(Р) прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр;
Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.
ТЕОРЕМА 2.5. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.
Доказательство. Пусть дана система
Если умножить одно из ее уравнений, например первое на отличный от нуля скаляр X, то получим систему
Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2).
Обратно: если - любое решение системы (2),
то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Так же легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (Р) или приводит к системе, равносильной исходной системе (1). Так как отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).
СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если к одному из уравнений системы линейных уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной.
СЛЕДСТВИЕ 2.7. Если исключить из системы линейных уравнений или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной системе.
Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:
1) перестановка любых двух уравнений местами;
2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;
(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).
Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:
Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.
Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.
1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.
2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему
(2)
Пусть 
системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:
Умножая его на число K , получим верное числовое равенство:
Т. о. устанавливаем, что
системы (2).
Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что
решение системы (1).
Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).
3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему
(5)
Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:
Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1. Изменение порядка строк (столбцов).
2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.
4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.
Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x 1 , x 2 , … , x n , обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной .
4. Система уравнений (1) называется определенной , если она имеет только одно решение, и неопределенной , если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).
К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк.
2. Изменение порядка строк.
3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Методы решения систем линейных уравнений.
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X = ‒ матрица переменных.
В = ‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A ×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A -1 ×B
Пример:
;
;
1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 матрицаА -1 существует.
3)
Ã
=
4)
А -1
=
× Ã =
;
Х
= А -1
×
B
Ответ:
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем значение в формулу для, получим:
Определитель Δ - определитель матрицы системы;
Δ x 1 - определитель переменной x 1 ;
Δ x 2 - определитель переменной x 2 ;
Формулы:
x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ 0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х 1 , х 2 ,…, х n заменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n ) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.
Алгоритм метода Гаусса:
1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.
2) Если а 11 0, то первую строку делим на а 11 и умножаем на (– a 21) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m –той строки:
I стр. делим на а 11 и умножаем на (– а m 1) и прибавляем m – тую стр.
При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x 1 .
3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x 2 , начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.
В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).
Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса , а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом .
Пример:
Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы
с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыA b , получим матрицу:
Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу
К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу
Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
,
Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где , поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем , - коэффициенты при неизвестных, , , - свободные члены системы (1).
Определение 2. Упорядоченная n -ка (), где , называется решением системы линейных уравнений (1), если при замене переменной на каждое уравнение системы (1) превращается в верное числовое равенство.
Определение 3. совместной , если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система (1) называется несовместной .
Определение 4. Система линейных уравнений (1) называется определенной , если она имеет единственное решение. В противном случае система (1) называется неопределенной .
Система линейных уравнений
(есть решение) (нет решений)
совместная несовместная
(единственное решение) (не единственное решение)
определеннаянеопределенная
Определение 5. Система линейных уравнений над полем Р называется однородной , если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае система называется неоднородной .
Рассмотрим систему линейных уравнений (1). Тогда однородная система вида называется однородной системой, ассоциированной с системой (1). Однородная СЛУ всегда совместна, так как всегда имеет решение .
Для каждой СЛУ можно ввести в рассмотрение две матрицы - основную и расширенную.
Определение 6. Основной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных следующего вида: .
Определение 7. Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица , полученная из матрицы путем присоединения к ней столбца свободных членов: .
Определение 8. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие: 1) умножение обеих частей некоторого уравнения системы на скаляр ; 2) прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент ; 3) добавление или отбрасывание уравнения вида .
Определение 9. Две системы линейных уравнений над полем Р относительно переменных называются равносильными , если их множества решений совпадают.
Теорема 1. Если одна система линейных уравнений получена из другой с помощью элементарных преобразований, то такие системы равносильны.
Удобно элементарные преобразования применять не к системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице.
Определение 10. Пусть дана матрица с элементами из поля Р. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
1) умножение всех элементов какой-либо строки на матрицы на aÎ Р # ;
2) умножение всех элементов какой-либо строки на матрицы на aÎ Р # и сложение с соответствующими элементами другой строки;
3) перестановка местами любых двух строк матрицы;
4) добавление или вычёркивание нулевой строки.
8. Решение СЛУ: метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных , или иначе, методом Гаусса . Рассмотрим систему(1) m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р: (1) .
В системе (1) хотя бы один из коэффициентов при не равен 0 . В противном случае (1) - система уравнений с () неизвестными - это противоречит условию. Поменяем местами уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был не равен 0 . Таким образом, можно считать, что . Умножим обе части первого уравнения на и прибавим к соответствующим частям второго, третьего, …, m -го уравнений соответственно. Получим систему вида: , где s - наименьшее число, такое что хотя бы один из коэффициентов при не равен 0 . Поменяем местами уравнения так, чтобы во второй строке коэффициент при переменной был не равен 0 , т.е. можем считать, что . Тогда умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям третьего, …, m -го уравнений соответственно. Продолжая этот процесс, получим систему вида:
Система линейных уравнений, которая, согласно теореме 1, равносильна системе (1). Система называется ступенчатой системой линейных уравнений. Возможны два случая: 1) Хотя бы один из элементов не равен 0 . Пусть, например, . Тогда в системе линейных уравнений есть уравнение вида , что невозможно. Это означает, что система не имеет решений, и поэтому система (1) не имеет решений (в этом случае (1) - несовместная система).
2) Пусть ,…, . Тогда с помощью элементарного преобразования З) получим систему - систему r линейных уравнений с n неизвестными. При этом переменные при коэффициентах называются главными переменными (это ), их всего r . Остальные (n-r ) переменных называют свободными.
Возможны два случая: 1) Если r=n , то - система треугольного вида. В этом случае из последнего уравнения находим переменную , из предпоследнего - переменную ,…, из первого уравнения - переменную . Таким образом, получаем единственное решение системы линейных уравнений , а значит, и системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) определена).
2) Пусть r
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса элементарные преобразования удобно производить не над системой, а над её расширенной матрицей.
Определение. Рангом матрицы А называется число ненулевых строк любой ступенчатой матрицы, к которой приводится А элементарными преобразованиями. Ранг матрицы А обозначается через r(A) или rang(A).
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса
1. Составить расширенную матрицу системы линейных уравнений (1) и с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.
2. Провести исследование: а) если , то система (1) несовместна;
б) если , то система (1) совместна.
При этом если r=n
, то система (1) определена, если r
3. Найти решение системы, соответствующей полученной ступенчатой матрице.