Характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение и собственный вектор линейного оператора. Смотреть что такое "Характеристическое уравнение" в других словарях

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

Непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (1.2), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение;

Путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

На основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в 1.4.1 было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения u C на конденсаторе для последовательной r-L-C -цепи (см. рис.1.6):

на базе которого записывается характеристическое уравнение

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве величины, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

1. Записывается выражение для входного сопротивления цепи на переменном токе в комплексной форме ;

2. В полученном выражении jω заменяется на оператор р ;

3. Полученное выражение приравнивается к нулю.

Уравнение совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом источники энергии исключаются из схемы, а на их месте остаются их внутренние сопротивления.

Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в электрической схеме магнитосвязанных ветвей. При наличии таковых необходимо осуществить магнитную развязку.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.6) по методу входного сопротивления имеем:

;

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых оно записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов.

Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой операций дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на оператор р . Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю.

Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.6) для свободного режима имеем:

Заменив в уравнении производную и интеграл, как сказано выше, получим алгебраическое уравнение

или .

Откуда получаем

или .

) А = ||a ik || n 1 вычитанием величины λ из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х - характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

где S 1 = a 11 + a 22 +... a nn - т. н. след матрицы, S 2 - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида i k) и т.д., а S n - определитель матрицы А . Корни Х. у. λ 1 , λ 2 ,..., λ n называются собственными значениями матрицы А . У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все λ k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все λ k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |λ k | = 1.

Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. - вековое уравнение.

2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a 0 λy (n ) + a 1 y (n-1 ) +... + a n-1 y" + a n y = 0

Алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины λ, т. е. уравнение

a 0 λ n + a 1 λ n-1 + ... + a n-1 y" + a n y = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се λх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

Х. у. записывается при помощи определителя

Х. у. матрицы A =

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Характеристическое уравнение" в других словарях:

Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению … Энциклопедия техники

Алгебраическое уравнение видаОпределитель в этой формуле получается из определителя матрицы вычитанием величины x из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно x и называется характеристическим многочленом … Большой Энциклопедический словарь

характеристическое уравнение - — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN characteristic equation … Справочник технического переводчика

Алгебраическое уравнение вида. Определитель в этой формуле получается из определителя матрицы х из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно х и называется характеристическим многочленом. * * * ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ… … Энциклопедический словарь

характеристическое уравнение - būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f … Automatikos terminų žodynas

характеристическое уравнение - būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas

характеристическое уравнение Энциклопедия «Авиация»

характеристическое уравнение - характеристическое уравнение. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена … Энциклопедия «Авиация»

Вековое уравнение, см. в ст. Характеристический многочлен … Математическая энциклопедия

Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Книги

Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения , Жибер А.В.. Книга посвящена систематическому изложению алгебраического подхода к исследованию нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных и их дискретных аналогов, основанного на понятии…

Определение. Характеристическим уравнением линейного оператора f называется уравнение вида , где λ –любое действительное число, А – матрица линейного оператора, Е – единичная матрица того же порядка.

Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А (линейного оператора f). В матричном виде характеристическое уравнение имеет следующий вид:

или

Следовательно, приравнивая характеристический многочлен к нулю, получаем уравнение степени n , где в качестве неизвестного выступает λ, получаем значения его корней – характеристических чисел данной матрицы. Характеристические корни играют большую роль во многих разделах математики. Рассмотрим одно из применений характеристических корней – очень важный инструмент при исследовании линейных пространств, а также при решении многих прикладных задач линейной алгебры.

Набор всех корней характеристического уравнения называют спектром оператора f (каждый корень рассматривают с той кратностью, которую он имеет в характеристическом уравнении).

Пример. Найти характеристические корни матрицы .

Составим матрицу

Приравнивая характеристический многочлен к нулю, получаем квадратное уравнение

Тогда корни уравнения равны .

Определение. Пусть f линейный оператор пространства и - некоторый ненулевой вектор, для которого справедливо равенство

где - действительное число. Тогда вектор называют собственным вектором оператора и матрицы его задающего, - собственным значением, или собственным числом преобразования. При этом говорят, что собственный вектор относится к собственному значению .

Собственные векторы играют большую роль, как в самой математике, так и в ее приложениях. Например, резонанс, при котором собственные частоты колебаний системы, совпадают с частой колебаний внешних сил. В математике собственные векторы полезны при решении систем дифференциальных уравнений.

Теорема. Если линейный оператор f в базисе (первый базис) имеет матрицу А и в базисе (второй базис) – матрицу В, то имеет место равенство: .

Следовательно, при переходе к новому базису характеристический многочлен линейного оператора не меняется.

◌ Если Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, то . Тогда преобразуем правую часть равенства ●

Теорема . Для того чтобы число λ 0 из поля Р было собственным значением вектора пространства L n над Р необходимо и достаточно, чтобы число λ 0 являлось характеристическим корнем оператора f.

Док-во. I. Необходимость. Пусть λ 0 собственное значение оператора f , тогда вL n существует собственный вектор , такой, что .

Пусть – его координатная строка в некотором базисе, тогда

С другой стороны, т.к. , где – матрица линейного оператора в заданном базисе, то

Приравняв правые части (1) и (2) получим:

(3)

Равенства (3) означают, что числовой вектор с координатами является решением следующей системы уравнений (4).

(4)

Вектор отличен от нулевого (т.к. он собственный), поэтому система (4) имеет ненулевое решение, следовательно ее определитель равен 0.

(5)

а значит и транспонируемый определитель равен 0.

(6)

Таким образом, λ 0 – корень характеристического уравнения.

II. Достаточность. Пусть λ 0 – характеристический корень оператора в некотором базисе . Докажем, что λ 0 является собственным значением оператора A.

Действительно, если λ 0 – характеристический корень, то будет выполняться равенство (6), а следовательно, равенство (5), а это будет означать, что система (4) имеет ненулевые решения.

Выберем какое-нибудь ненулевое решение системы(4): числовой вектор . Тогда выполняются равенства (3).

Рассмотрим вектор , а для него будет выполняться равенство (2) и, в силу формулы , справедливо равенство (1), где – матрица оператора в базисе В . Отсюда следует равенство , которое означает, что вектор является собственным вектором оператора , которому соответствуют собственное значение λ 0 . Это и требовалось доказать. Теорема доказана.

Замечание. Для того чтобы найти собственные значения оператора, надо составить и решить уравнение (5). Чтобы найти собственные векторы оператора нужно составить систему уравнений (4) и найти фундаментальный набор решений этой системы.

Для контроля за правильностью вычисления собственных значений (они могут быть совпадающие, комплексные) используются два факта:

1) , где последняя сумма след матрицы – сумма диагональных элементов.

2) .

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы .

Приравнивая к нулю получаем . .

3) . , .

Пусть - свободная переменная, тогда Получаем вектор .

Упражнение. Сделать проверку для вектора .

Характеристическое уравнение имеет вид:

Для определения вида свободной составляющей необходимо составить и решить характеристическое уравнение: z(p)=0.Для записи характеристического уравнения необходимо нарисовать схему,в которой все источники ЭДС и тока следует заменить на их же внутреннее сопротивление,а сопротивление индуктивности и емкости принять соответственно равным Pl и ,далее необходимо разорвать любую ветвь данной схемы,записать ее исходное сопротивление относительно точек разрыва,прировнять его нулю,решить и определить корни p,если корни получились действительными отрицательными,то своб.составляющая искомой функции:

,где m-количество корней уравнения;

Корни; -постоянные интегрируемые.

Если корни характер.уравнения получились комплексно сопряженными,то своб.сост.будет иметь вид:

где -частота свободных колебаний;

Начальная фаза свободных колебаний.

8.Время переходного процесса. Определение практически t пп. Расчет времени переходного процесса.

Время переходного процесса зависит от коэфициента затухания .Величина,обратная ,называется постоянной времени и представляет собой время,в течении которого значение свободной составляющей переходного процесса уменьшится в e=2,72 раза. Величина зависит от схемы и параметров.Так для цепи с последовательным соединением r и L = ,а при последовательном соединениии

95% окончания переходного процесс 3 .

Кривые свободных составляющих переходного процесса проще всего построить, задавая времени t значения 0, ,2 …..Если вещественных корней несколько,то результирующая кривая получается путем суммирования ординат отдельных слагаемых (рис.1.)

Рисунок 1:

9.10,Переходный процесс в r, С – цепи при включении на источник постоянного напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для U C (t); i C (t); графики. (Классический метод).

Уравнение состояния rC-цепи после коммутации следующее:

(1) ,или rC (2)

Его решение:

Емкость С после замыкания ключа при t зарядится до установившегося значения .Свободная составляющая

Поскольку начальные условия нулевые,согласно закону коммутации при t=0,или 0=A ,откуда A=-E.

Решение уравнения (2) примет вид:

Ток в цепи i(t)=C

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Графики изменения напряжения и тока i(t) приведены на рисунке 1 и 2. Из рисунков видно,что напряжение на конденсаторе возростает по экспоненциальному закону от 0 до E,сила тока же в момент коммутации скачком достигает значения E/r, а затем убывает до нуля.

11.12.Переходный процесс в r, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для U C (t); i C (t); графики. (Классический метод).

Уравнение состояния rC-цепи в переходном режиме следующее

rC .

Решение этого уравнения:

Свободная составляющая

где =rC

Так цепь линейна,то при синусоидальном воздействиии в установившемся режиме напряжение на емкости также будет изменяться по синусоидальному закону с частотой входного воздействия,Поэтому для определения = воспользуемся методом комплексных амплитуд:

;

Учитывая, что j= ,получаем:

Постоянную интегрирования А свободной составляющей

Найдем из начальных условий в цепи с учетом закона коммутации:

.При t=0 последнее выражение имеет вид

Откуда A=-

Cложив составляющие и ,получим окончательное выражение для напряжения на емкости в переходном режиме:

= + = - (1)

Анализ выражения (1) показывает, что переходный процесс в rC-цепи при синусоидальном воздействии зависит от начальной фазы ЭДС источника в момент коммутации и от постоянной времени rC-цепи.

Если ,то =0 и в цепи сразу после коммутации наступит установившийся режим,т.е.

При напряжение =- , т.е. напряжение на емкости сразу после коммутации может достигать почти удвоенного значения положительного знака,а затем постепенно приближаться к = .

Разность фаз приведет уравнение (1) к виду:

Отличие данного режима от предыдущего состоит в том,что напряжение на емкости сразу после коммутации может достичь почти удвоенного значения отрицательного знака.

Для расмотренной Rc-цепи с источником синусоидального тока в установившемся режиме начальная фаза входного напряжения никакой роли не играет, но в переходном процессе ее влияние существенно.

13.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Периодический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

Корни действительные, отрицательные, разные.

I(t)=I уст +A1e p 1 t +A2e p 2 t

Процесс периодический:

t=0 {i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

i l (t)= ()

14.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Критический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

i l (t)=i уст +(B1+B2*t)*

t=0: i l (0)=β1=0

Если корни получились действительные, отрицательные, равные, значит процесс критический.

15.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Колебательный процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

P t = -δ±j*ω св ω св=

Корни отрицательные действительные, частью комплексносопряженные.

i l (t)=i уст A1e - δt *sin(ω св t+ψ)

i l (t)=i уст +(M*cos ω св t+N*sin ω св t)*

i l (t)= * = *

16. Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Апериодический процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

R(t)=E max *sin(ωt+ψ)

В классическом Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы

методе находится решение в виде суммы общего и частного решения. Расчета переходный процесс описывается системой обыкновенных дифф.уравнений, составленных одним из методов расчета для мгновенных значений функций времени. Решение для каждой переменной этой системы находится в виде суммы общего и частного решения. Для составления уравнения могут быть использованы: метод, основанный на применении законов Кирхгофа, метод узловых потенциалов, метод контурных токов и т.д. Например, система дифференциальных уравнений, составленная после коммутации согласно первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид:

Например,

Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы. Пусть требуется найти ток i k в ветви с номером К.Исключая последовательно токи ветвей, в результате получим ток i k и его производные до порядка n:

Порядок дифф.уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов схемы (m). Обычно n=m, но в зависимости от способа соединения может быть и так, что n

Последовательно включенные емкостные элементы можно заменить одним элементом, так же как и парал включенные индуктивные элементы можно заменить одним эквивалентным. На рисунке 9.5 показана замена 2х последовательно включенных емкостей одной эквивалентной.

В общем случае порядок диф.уравнения n равен: n=n lc -n ce -n lj , где n lc -количество реактивных элементов(L и C) в схеме, n ce - количество емкостных контуров, n lj -количество индуктивных узлов или сечений.

Под ёмкостным понимается контур, состоящих из емкостных элементов или емкостных элементов и идеальных источников ЭДС, рис 9.6.а.Под индуктивным понимается узел, в который сходятся индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока(рис. 9.6.б), либо сечения, которые пересекают только индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока.

Отметим, что этап составления диф.уравнения не явл-ся обязательным и переходный ток или напряжение могут быть найдены без составления ур-ния. Как было указано, в классическом методе расчета переходных процессов решения уравнений представляется виде суммы общего и частного решения.

Частное решение описывает режим, который называется принужденным. Решение однородного уравнения(правая часть равна нулю) описывает процесс при отсутствии внешних ЭДС и источников тока и называется свободным. Соответственно рассматриваются свободные и принужденные токи, напряжения, заряды.

Таким образом, ток в ветви с номером К представляется в виде суммы .