Кольцо многочленов с коэффициентами из поля к. Конечные поля, основанные на кольцах многочленов. Кольцо многочленов от нескольких переменных

Если элемент, порождающий главный идеал, разложен на множители, то из общих фактов следует, что факторкольцо изоморфно прямому произведению трёх факторколец того же кольца многочленов по главным идеалам, порождённых отдельными множителями. Для примера рассмотрим $%\mathbb Z_5[x]/(x-2)$%. Здесь та же логика: у нас $%x-2$% равно нулю, то есть $%x$% заменяется на $%2$%. Переменные исчезают, остаются только коэффициенты. Факторкольцо оказывается изоморфно $%\mathbb Z_5$%. У нас их три, и получается их прямое произведение, то есть $%\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5$%.

Это ответ, и теперь осталось то же самое описать на строго формальном уровне. Рассмотрим гомоморфизм кольца $%\mathbb Z$% на $%\mathbb Z_5$%, то есть на кольцо вычетов $%\mathbb Z/5\mathbb Z$% по модулю 5. Он индуцирует гомоморфизм колец многочленов: $%\mathbb Z[x]\to\mathbb Z_5[x]$%. Устроен он очень просто: у многочлена над $%\mathbb Z$% заменяем коэффициенты на их остатки от деления на $%5$%.

Теперь каждому многочлену $%f(x)\in\mathbb Z_5[x]$% сопоставим три его значения в точках 2, 3, 4, то есть рассмотрим тройку $%(f(2),f(3),f(4))$%, принадлежащую кольцу $%\mathbb Z_5^3=\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5$%. Ввиду того, что многочлены складываются и перемножаются по тем же правилам, что и числа, мы получаем гомоморфизм колец. В композиции исходного гомоморфизма с данным получится гомоморфизм $%\phi\colon\mathbb Z[x]\to\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5$%. Нас интересует его ядро.

Прежде всего, очевидно, что ядру принадлежит число 5 (оно переходит в нулевой элемент кольца уже при первом из гомоморфизмов, когда мы переходим к вычетам). Далее, многочлен $%x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$% отобразится в многочлен над кольцом вычетов, равный $%(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x+2)(x-2)=(x-2)(x-3)(x-4)$%, так как 1 равно -4, и 2 равно -3 по модулю 5. Это объясняет, почему мы взяли значения многочлена именно в точках 2, 3, 4. Здесь они все равны нулю, и тогда многочлену сопоставляется нулевой вектор прямого произведения. По определению, это означает, что и $%x^3+x^2+x+1$% принадлежит ядру. Поскольку ядро является идеалом, то и все элементы идеала $%I$%, описанные в условии, принадлежат ядру. То есть $%I$% содержится в $%\mathop{\rm Ker\,}\phi$%.

Проверим, что на самом деле ядро совпадает с идеалом $%I$%. Если многочлен $%f(x)$% с целыми коэффициентами попал в ядро, это равносильно тому, что значения $%f(2)$%, $%f(3)$%, $%f(4)$% кратны пяти. Обозначая стандартным образом класс вычетов числа $%a$% по модулю 5 в виде $%\bar{a}$%, а также через $%\bar{f}(x)$% образ многочлена с целыми коэффициентами в кольце $%\mathbb Z_5[x]$%, мы видим, что $%\bar{f}(2)=\bar{f}(3)=\bar{f}(4)=0$%, то есть числа 2, 3, 4 являются корнями многочлена $%\bar{f}(x)$%. По теореме Безу, он делится на каждый из двучленов $%x-2$%, $%x-3$%, $%x-4$%. Тогда он делится и на их произведение, то есть его можно записать в виде $%\bar{f}(x)=(x-2)(x-3)(x-4)\bar{g}(x)$% для некоторого многочлена $%g(x)$% с целыми коэффициентами.

В кольце вычетов можно менять коэффициенты на равные им по модулю 5, поэтому будет верно также равенство $%\bar{f}(x)=(x^3+x^2+x+1)\bar{g}(x)$% в кольце $%\mathbb Z_5[x]$%. Тогда окажется, что многочлен $%f(x)-(x^3+x^2+x+1)g(x)$% перешёл в нулевой, поэтому все его коэффициенты были кратны 5, то есть разность имеет вид $%5h(x)$% для некоторого многочлена с целыми коэффициентами. В итоге получается, что $%f(x)=(x^3+x^2+x+1)g(x)+5h(x)$%, то есть $%f(x)$% принадлежит идеалу $%I$%, что и требовалось доказать.

Теперь можно применить теорему о гомоморфизмах колец, и сделать вывод, что факторкольцо $%\mathbb Z[x]/I$% по ядру гомоморфизма $%\phi$% изоморфно образу этого гомоморфизма. Осталось последнее: доказать, что гомоморфизм $%\phi$% сюръективен. Это делается сравнительно просто. Берём многочлен $%(x-2)(x-3)$%, и сопоставляем ему вектор значений в точках 2, 3, 4 (по модулю 5). Получается $%(0,0,2)$%. Чтобы на последнем месте получилась единица, домножаем многочлен на 3. В итоге видим, что базисный вектор $%(0,0,1)$% лежит в образе $%\phi$%.

Аналогично поступаем с $%(x-2)(x-4)$%, и он перейдёт в тройку $%(0,-1,0)$%. Меняя знак, получаем второй базисный вектор $%(0,1,0)$%. Наконец, $%(x-3)(x-4)$% переходит в $%(2,0,0)$%, и домножение на 3 даёт $%(1,0,0)$%. Все векторы базиса пространства $%\mathbb Z_5^3$% лежат в образе $%\phi$%, то есть он сюръективен. Этим окончательно доказано, что $%\mathbb Z[x]/I\cong\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5\times\mathbb Z_5$%.

Осталось самое последнее. Факторкольцо, которое у нас получилось, является произведением трёх полей из пяти элементов. Такие кольца не только не являются полями, но в них всегда есть делители нуля. Достаточно перемножить ненулевые тройки $%(1,0,0)$% и $%(0,1,0)$% (покоординатно), и у нас получится нулевой элемент факторкольца.

ЛЕКЦИЯ 7.

Кольцо многочленов от одного неизвестного

Определение многочлена . Из школьного курса известна задача решения уравнения второй степени вида

где
. Решить уравнение (7.1) – это значит найти такое значение неизвестного , которое при подстановке в уравнение (предикат ) (7.1) обращает его в числовое тождество (в истинное высказывание ).

Пример 7.1. Найти множество истинности предиката

.

Р е ш е н и е. Рассмотрим тождественное преобразование правой части указанного предиката:

.

Приравнивая последнее выражение к нулю, получаем формулу

,

которая даёт значения неизвестных, обращающих предикат
в истинное высказывание. Следовательно, множество истинности предиката
в общем случае состоит из двух элементов

,

значения которых вычисляются через значения коэффициентов квадратного трёхчлена
. Выражение
, стоящее под знаком квадратного корня, называется дискриминантом уравнения
. Возможны три случая:

1)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из одного действительного числа
(квадратное уравнение
имеет один вещественный корень);

2)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух вещественных чисел, которые вычисляются по выписанным выше формулам (квадратное уравнение
имеет два вещественных корня);

3)
– в этом случае множество истинности предиката состоит из двух комплексно сопряжённых чисел:

(уравнение
имеет комплексно сопряжённые корни).

В общем случае мы приходим к задаче решения уравнения - й степени относительно одного неизвестного

коэффициенты
которого будем считать произвольными комплексными числами , причём старший коэффициент
. Решить уравнение (7.2) – это значит найти такие значения неизвестного , которые, будучи подставлены в уравнение (7.2), обращают его в числовое тождество. Задачу решения уравнения (7.2) заменяют более общей задачей изучения левой части этого уравнения .

Определение 7.1. Многочленом , или полиномом степени от одного неизвестного (или буквы ) называется формальное выражение вида

, (7.3)

то есть формальная алгебраическая сумма целых неотрицательных степеней неизвестного , взятых с некоторыми, вообще говоря, комплексными коэффициентами , ,
, ,
.

Обозначают многочлены различными буквами латинского и греческого алфавитов, как большими , так и малыми .

Степенью многочлена (7.3) называется наивысшая степень неизвестного , при которой коэффициент
. Многочлен нулевой степени – это многочлен, состоящий из одного, неравного нулю комплексного числа. Число нуль – это тоже многочлен, степень которого не определена .

Степень многочлена , если это необходимо, обозначается нижним индексом, например
, или символом
. Наряду с записью многочленов в форме (7.3) часто применятся форма записи по возрастающим степеням , то есть

Равенство, сумма и произведение многочленов . Многочлены можно сравнивать и производить над ними действия сложения и умножения.

Определение 7.2. Два многочлена
и
считаются равными и пишут
в том и только в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного .

Никакой многочлен, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля, не может быть равным нулю. Поэтому знак равенства в записи уравнения -й степени не имеет отношения к равенству многочленов.

В математическом анализе равенство многочленов
рассматривается как равенство двух функций, то есть,

.

Если многочлены равны в смысле определения 7.2, то они равны и в смысле равенства функций. Обратное является следствием сформулированной ниже основной теоремы алгебры многочленов.

Введём две алгебраические операции над многочленами с комплексными (в общем случае) коэффициентами – сложение и умножение .

Определение 7.3. Пусть даны два многочлена

,
,

,
.

Для определённости положим
. Суммой данных многочленов называется многочлен

коэффициенты которого равны сумме коэффициентов при одинаковых степенях неизвестного :

.

Причём, если
полагают .

Отметим, что степень суммы двух многочленов при
равна , а при
может оказаться меньше , а именно при
.

Определение 7.4. Произведением многочленов

,
,

,

называется многочлен

коэффициенты которого находятся по формуле

, . (7.4)

Таким образом, коэффициент произведения двух многочленов с индексом
равен сумме всевозможных произведений коэффициентов многочленов
и
, сумма индексов которых равна , а именно:

,
,
,
.

Из последнего равенства имеем
. Следовательно, степень произведения двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов:

По определению полагают, что степень многочлена

.

Мы получили следующий результат.

Лемма 7.1. Пусть
и
– два многочлена. Тогда их произведение .

Пример 7.2. Пусть даны два многочлена разной степени, например,

,
.

Тогда их сумма и произведение есть, соответственно:

.

Итак, во множестве многочленов с комплексными коэффициентами введены две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение . Свойства этих операций устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 7.1. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей .

Доказательство теоремы сводится к проверке аксиом кольца, и мы его опустим. Отметим только, что нулём для операции сложения является число (многочлен) , а единицей для операции умножения является число (многочлен) .

Кольцо многочленов обозначают
, где
– символ поля, над которым определён многочлен. Таким образом, теорема 7.1 утверждает: множество всех многочленов с комплексными коэффициентами является кольцом
.

Делимость многочленов . Многочлен
имеет обратный многочлен
, в том и только в том случае, если
– многочлен нулевой степени. Действительно, если
, то обратный многочлен
. Если же
, то степень левой части
при условии, что
существует, должна быть не меньше
, но правая часть последнего равенства является многочленом нулевой степени. Итак, в кольце многочленов
для операции умножения не существует обратной операции деления . В кольце многочленов, однако, существует алгоритм деления с остатком .

Теорема 7.2. Для любых двух многочленов
и
существуют такие многочлены
и
, что

, (7.5)

где , или
. Представление (7.5) единственно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
и
. Представим многочлены
и
в виде

Если
или
, то положим в (7.5)

,
.

Тогда, очевидно, (7.5) выполняется. Поэтому предположим, что
. Положим:

. (7.6)

Обозначим старший коэффициент многочлена
через . Очевидно, что
. Если
, то положим:

. (7.7)

Старший коэффициент многочлена
обозначим . Если
, то опять положим

(7.8)

и так далее. Степени
многочленов
, очевидно, убывают. После конечного числа шагов получим

, (7.9)

где или
, или
. После этого процесс прекращается.

Складывая равенства (7.6) – (7.9) , получаем

Обозначая сумму в круглых скобках
, а
, получаем (7.5), причём либо
, либо степень
.

Докажем единственность (7.5). Пусть

где или
, или . Из (7.5) и (7.11) имеем:

Степень многочлена в левой части последнего равенства не меньше степени
, а степень многочлена в правой части или нулевая, или меньше степени
. Поэтому последнее равенство выполняется лишь при равенств

,
.

Многочлен
в формуле (7.5) называется частным от деления многочлена
на многочлен
, а многочлен
называется остатком от этого деления. Если
, то говорят, что многочлен
делится на многочлен
, который называют делителем многочлена
. Выясним, когда многочлен
делится на многочлен
.

Теорема 7.3. Многочлен
делится на многочлен
в том и только в том случае, если существует такой многочлен
, что

. (7.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если
делится на
, то в качестве
следует взять частное от деления
на
. Обратно, пусть многочлен, удовлетворяющий равенству (7.12), существует. Тогда из доказанной в теореме 7.1. единственности многочленов
и
в представлении (7.5) и условия того, что степень
меньше степени
, следует, что частное от деления
на
равно
, а остаток
.

Следствие из теоремы 7.3. Если многочлен
и его делитель
имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и частное
также будет иметь рациональные или действительные коэффициенты.

Пример 7.3. Выполнить деление с остатком многочлена

на многочлен
.

Р е ш е н и е. Алгоритм деления (7.6) – (7.9) реализуем в форме «деления уголком »:

Итак, частное
, остаток
. Поэтому имеет место представление следующего вида

которое можно проверить непосредственным умножением.

Определение 7.5. Пусть
и
– два многочлена. Многочлен
называется наибольшим общим делителем (НОД ) этих многочленов, если он является их общим делителем и сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

НОД многочленов
и
обозначается . Сформулируем и докажем теорему, дающую конструктивный алгоритм нахождения НОД для любых двух многочленов.

Теорема 7.4 (алгоритм Евклида). Для любых двух многочленов
и
существует наибольший общий делитель

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала сформулируем алгоритм Евклида нахождения
, а потом докажем, что полученный в процессе реализации этого алгоритма многочлен является наибольшим общим делителем двух данных многочленов.

Сначала делим многочлен
на многочлен
и получаем в общем случае некоторый остаток
. Далее делим
на
и получаем остаток
, делим
на
и получаем остаток
и так далее. В результате таких последовательных делений мы придём к остатку
, на который делится предыдущий остаток
. Этот остаток и будет наибольшим общим делителем данных многочленов.

Для доказательства выпишем последовательно цепочку делений:

Последнее равенство показывает, что
является делителем для
. Поэтому оба слагаемых в правой части предпоследнего равенства делятся на
и, следовательно, на
делится и
. Поднимаясь по цепочке делений вверх, получим, что
является делителем и для
,
,
,
. Из второго равенства цепочки видим, что
является делителем и для
и, следовательно, на основании первого равенства – для
. Итак,
является общим делителем для
и
.

1. Кольцо многочленов над полем

Пусть – произвольное поле. Символом обозначают совокупность всех многочленов от переменной (всевозможных степеней), коэффициенты которых берутся из поля :

На этом множестве определены две операции: два многочлена можно сложить и перемножить по известным правилам. Операции сложения и умножения многочленов удовлетворяют аксиомам 1-7 и 9 поля (то есть всем, кроме восьмой). Как говорилось выше, такая совокупность объектов называется кольцом. Итак, – кольцо многочленов над полем .

Другим примером кольца является кольцо целых чисел . Оказывается, что основные свойства целых чисел являются следствиями аксиом 1-7, 9, и поэтому остаются справедливыми в любом кольце. В частности, перенесем на многочлены свойства целых чисел, связанные с делимостью. Степень многочлена будем обозначать .

Делимость многочленов

Говорят, что многочлен делится на многочлен , если можно найти такой многочлен , что . Говорят также, что делит и записывают это в виде .

Деление с остатком

Для любых двух многочленов и , можно найти такие многочлены и , что

Многочлены и могут быть найдены известным алгоритмом деления "уголком". Заметим, что вычисления упрощаются, если старший коэффициент делителя . Этого всегда можно добиться, вынося за скобки: . Здесь – делитель со старшим коэффициентом 1, a – новое частное, по которому, если необходимо, можно восстановить .

Для машинных вычислений удобна такая схема.

Вычислительная схема деления с остатком

(5)

Подставляя (4) и (5) в (3) и сравнивал коэффициенты при , получаем систему

. (6)

. (7)

Условие суммирования в этих суммах состоит в том, что индексы коэффициентов должны находиться в пределах от 0 до степени многочлена:

Следовательно, индекс суммирования должен изменяться в пределах

Например, при (6) принимает вид , то есть .

Если , то , следовательно,

,

так как . Заметим, что под знак суммы входят с индексами, большими , что дает возможность последовательно их вычислять. Таким образом, коэффициенты частного и остатка при делении двух многочленов можно найти по следующей схеме:

1°. Полагаем .

2°. Для вычисляем и полагаем

.

3°. Для вычисляем и полагаем

.

Утверждения о многочленах

Из формулы (3) деления с остатком вытекают известные факты о многочленах, для нас важно, что эти факты справедливы для кольца многочленов над произвольным полем.

1. Теорема 1 (Безу). Пусть и а произвольный элемент поля . Тогда остаток от деления на многочлен равен элементу .

Действительно, записывая (2.3) для данного случая, получаем

где многочлен нулевой степени, то есть элемент поля . Подставляя в это равенство , получаем .

2. Если , то есть – корень , то делится на .

Это прямо следует из 1.

3. Многочлен степени в любом поле имеет не более корней.

Следует из того, что после деления на степень многочлена уменьшается на 1.

4. Если многочлен делится на :

,

и частное снова делится на , то будет делиться на . В этом случае корень называется кратным. Определяя формальную производную многочлена как многочлен , нетрудно проверить, что все правила дифференцирования остаются в силе. Например, если

,

Следовательно, если кратный корень многочлена, то многочлен и его производная делятся на . Наоборот, если известно, что у многочлена и его производной нет общих делителей степени выше нулевой, то все корни многочлена различные.

2. Алгоритм Евклида

Наибольшим общим делителем двух многочленов и называется многочлен , такой что

2) если и , то .

Обозначение прежнее: .

Теорема 2. Если , то существуют многочлены и , такие что

Доказательство такое же, как для кольца целых чисел.

Замечание. Имеется некоторая неоднозначность в определении , она связана с тем, что если d(x) наибольший общий делитель многочленов и , а – произвольный ненулевой элемент поля , то многочлен так же будет удовлетворять условиям 1) и 2). Наоборот, если и , то многочлены и будут делить друг друга, а это возможно лишь в случае, когда , (). Таким образом, наибольший общий делитель двух многочленов над полем определен с точностью до множителя – элемента . Эту неоднозначность можно устранить, требуя чтобы старший коэффициент равнялся единице. Добавим в связи с этим к определению условие нормировки

3) старший коэффициент равен единице.

В кольце , можно применять алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя и его вычислительную схему, рассмотренную выше. Ограничимся примером.

Пример. В кольце найти наибольший общий делитель многочленов

И ,), и, следовательно, ; либо , тогда (с учетом условия нормировки в определении наибольшего общего делителя многочленов).

Глава XI. Многочлены.

Кольцо многочленов от одной переменной над

Ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей

Определение 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K от переменной x называется выражение вида , где a i ÎK , причем лишь конечное число элементов a i ≠0.

a i называется коэффициентом многочлена f (x ) при степени i.

Множество всех многочленов над кольцом K от переменной x обозначается K [x ].

Определение 2. Пусть f (x ) и g (x ) , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f (x ) и g (x ) называются равными (алгебраически ), если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях x .

Определение 3. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0=0(x ).

Определение 4. Пусть K - f (x ) , f (x )≠0(x ). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f =n, если a n ≠0 и a i =0 при i >n.

По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 (x ) .

Таким образом, если , то deg (deg ℕ {0}).

Согласно определению 2, добавляя или отбрасывая слагаемые с нулевыми коэффициентами, мы получаем многочлен, равный данному. Таким образом, всякий многочлен степени n может быть записан в виде

Тогда a 0 называется свободным или постоянным членом многочлена f (x ), a n - старшим коэффициентом многочлена f (x ).

Определение 5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , , причем n ≥m.

Операции сложения и умножения многочленов из K [x ] определяются по правилам

Теорема 1 . Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда K [x ] относительно операций по правилам (1 ) и (2 ) – также является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей 1(x )= 1.

Доказательство. Проверим для K [x ] все аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей.

1. K [x ]¹Æ, например, 0(x )Î K [x ], так как все его коэффициенты равны 0ÎK .

2. Операции «+» и «⋅» по правилам (1) и (2) являются алгебраическими на K [x ] (т.е. K [x ] замкнуто относительно этих операций). Действительно, пусть f (x )и g (x )Î K [x ], из формул (1) и (2) следует, что коэффициенты многочленов f (x )+g (x )и f (x )⋅g (x )получаются путем сложения и умножения коэффициентов f (x )и g (x ), т.е. элементов из K. В силу замкнутости кольца K относительно сложения и умножения, коэффициенты многочленов f (x )+g (x )и f (x )⋅g (x ) принадлежат K . То есть f (x )+g (x )ÎK [x ]и f (x )⋅g (x )Î K [x ].

3. [ x ], +> - абелева группа.