Распределение Вейбулла (модель слабого звена)

Практическая необходимость учета непостоянства интенсивности отказов позволяет сделать вывод, что условия, приводящие к основным распределениям теории надежности (экспоненциальному, нормальному, логарифмически-нормальному и т.п.), указывают на необоснованность их использования для анализа надежности мощных генераторных ламп, клистронов, магнетронов, ламп бегущей волны и других элементов систем управления, которые в общем случае характеризуются старением с непостоянной скоростью износа, неоднородны по начальному качеству.

В 1939 г. шведский математик и инженер В. Вейбулл (1887-1979), анализируя отказы, обусловленные износом шарикоподшипников, предложил функцию распределения, удобную для описания долговечности материалов, отметив: «Представляется, что единственным практическим путем достижения успеха является выбор простой функции, эмпирическая ее проверка и затем ее окончательный выбор, если нет ничего лучшего».

Не останавливаясь на оценке справедливости этих слов в настоящее время, заметим, что в качестве простой функции Вейбулл выбрал двухпараметрическую функцию распределения вероятностей:

где Т, s - соответственно параметры масштаба и формы.

С середины 1950-х гг. интерес к распределению Вейбулла возрастает, поскольку оно оказывается хорошей моделью для описания надежности сложных устройств. Этот закон оказывается наиболее пригодным для анализа продолжительности безотказной работы мощных электровакуумных приборов СВЧ.

Б.В. Гнеденко установил, что распределение Вейбулла является асимптотическим распределением третьего типа для минимальных значений последовательности независимых величин. Доказано характеристическое свойство вейбулловского закона: если т| = min (X v Х 2 ,Х п) подчиняется вейбулловскому распределению, а случайные величины Х { , Х 2 , ..., Хп независимы и одинаково распределены, то они также подчиняются этому закону. Многие устройства содержат значительное число однородных элементов, находящихся в одинаковых условиях эксплуатации. Если повторяющиеся элементы являются определяющими по отношению ко времени безотказной работы прибора, то образуется схема, приводящая к распределению Вейбулла. Отказ прибора рассматривается как выход какого-либо одного из параметров за пределы установленного допуска. Можно полагать, что изменения этих параметров есть слабо связанные случайные процессы. Тогда, если т. - долговечность по /-му параметру, то ресурс в целом определяется как т = min (т р т 2 , ..., т л).

Функция надежности при распределении Вейбулла в общем случае определяется тремя параметрами и имеет вид:

где - , / 0 - параметры масштаба, формы, сдвига (параметр сдвига

называется еще «порогом чувствительности») }