Равновесие пространственной системы сил уравнение равновесия. Написать уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Произвольная пространственная система сил

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

ΣX i = 0; ΣM x (P i ) = 0;

ΣY i = 0; ΣM y (P i ) = 0;

ΣZ i = 0; ΣM z (P i ) = 0.

Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.

В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми.

Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz , имеют вид:

ΣZ i = 0;

ΣM x (P i ) = 0;

ΣM y (P i ) = 0.

Задачи на равновесие тела под действием пространст­венной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекоменду­ется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде­лим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Жела­тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и ; точка С , где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D – точка пересечения линий действия сил и . Со­ставим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме­чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим

Из третьего

И из первого

Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.

Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в гори­зонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD , прикреплён­ными к стене в точке Е . Стержни одинаковой длины, AB=2a , EO=a . Определим усилия в стержнях и ре­акции петель А и В .

Рис.46

Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпенди­кулярными оси петли: .

Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в про­странстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.

Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.

Составим такие уравнения:

Из уравнения (1) получим: S 1 =S 2 . Тогда из (4): .

Из (3): Y A =Y B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S 1 =S 2 , следует Z A =Z B . Тогда по (2) Z A =Z B =P/4.

Из треугольника , где , следует ,

Поэтому Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.

Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и по­смотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:

Задача решена правильно.

Вопросы для самопроверки

Какая конструкция называется фермой?

Назовите основные составные элементы фермы.

Какой стержень фермы называется нулевым?

Сформулируйте леммы, определяющие нулевой стержень фермы.

В чем заключается сущность способа вырезания узлов?

На основании каких соображений без вычислений можно определить стержни пространственных ферм, в которых при заданной нагрузке усилия равны нулю?

В чем заключается сущность способа Риттера?

Каково соотношение между нормальной реакцией поверхности и силой нормального давления?

Что называется силой трения?

Запишите закон Амонтона-Кулона.

Сформулируйте основной закон трения. Что такое коэффициент трения, угол трения и от чего зависит их значение?

Брус находится в равновесии, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол; центр тяжести бруса находится в его середине. Можно ли определить направление полной реакции пола?

Назовите размерность коэффициента трения скольжения.

Что такое предельная сила трения скольжения.

Что характеризует конус трения?

Назовите причину появления момента трения качения.

Какова размерность коэффициента трения качения?

Приведите примеры устройств, в которых возникает трение верчения.

В чем заключается разница между силой сцепления и силой трения?

Что называют конусом сцепления?

Каковы возможные направления реакции шероховатой поверхности?

Что представляет собой область равновесия и каковы условия равновесия сил, приложенных к бруску, опирающемуся на две шероховатые поверхности?

Что называется моментом силы относительно точки? Какова размерность этой величины?

Как вычислить модуль момента силы относительно точки?

Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.

Что называется моментом силы относительно оси?

Запишите формулу, связывающую момент силы относительно точки с моментом этой же силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Как определяется момент силы относительно оси?

Почему при определении момента силы относительно оси нужно обязательно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси?

Каким образом нужно располо­жить ось, чтобы момент данной силы относительно этой оси равнялся нулю?

Приведите формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.

Как направлен вектор момента силы относительно относительно точки?

Как определяется на плоскости момент силы относительно точки?

Какой площадью можно определить числовое значение момента силы относительно данной точки?

Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?

В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?

Определите геометрическое место точек пространства, относительно которых моменты данной силы:

а) геометрически равны;

б) равны по модулю.

Как определяются числовое значение и знак момента силы относительно оси?

При каких условиях момент силы относительно оси равен нулю?

При каком направлении силы, приложенной к заданной точке, ее момент относительно данной оси наибольший?

Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

При каких условиях модуль момента силы относительно точки равен моменту той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

Каковы аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей?

Чему равны главные моменты системы сил, произвольно расположенных в пространстве, относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку? Какова зависимость между ними?

Чему равен главный момент системы сил, лежащих в одной плоскости, относительно любой точки этой плоскости?

Чему равен главный момент сил, составляющих пару, относительно любой точки в пространстве?

Что называется главным моментом системы сил относительно заданного полюса?

Как формулируется лемма о параллельном переносе силы?

Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?

Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?

Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?

Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

Какую прямую в пространстве называют центральной осью системы сил?

Выведите уравнения центральной оси системы сил?

Покажите, что две скрещивающиеся силы можно привести к силовому винту.

По какой формуле вычисляют наименьший главный момент заданной системы сил?

Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

Какова зависимость главного момента системы сил в пространстве от расстояния центра приведения до центральной оси этой системы сил?

Относительно каких точек пространства главные моменты заданной системы сил имеют один и тот же модуль и составляют с главным вектором один и тот же угол?

Относительно каких точек пространства главные моменты системы сил геометрически равны между собой?

Каковы инварианты системы сил?

Каким условиям удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной и двумя закрепленными точками, находящемуся в покое?

Будет ли в равновесии плоская система сил, для которой алгебраические суммы моментов относительно трех точек, расположенных на одной прямой, равны нулю?

Пусть для плоской системы сил суммы моментов относительно двух точек равны нулю. При каких дополнительных условиях система будет в равновесии?

Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

Что такое моментная точка?

Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?

Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?

Как было выяснено в § 4.4, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех моментов (4.17):

, , . (7.14)

Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.

Для пространственной системы параллельных сил уравнения равновесия принимают вид (§ 4.4[‡]):

, , . (7.15)

Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т.е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.

1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.

Поместим в эту точку начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке А заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и по направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих , , , направленных соответственно вдоль осей , , .

Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в виде:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку А . Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между активными силами, необходимыми для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.

Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела .

2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров.

Выберем начало координат в точке А и направим ось вдоль линии, проходящей через точки А и В . Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакции вдоль координатных осей. Обозначим расстояние между точками А и В через а ; тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Последнее уравнение не содержит сил реакции и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные точки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки . Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций , , , , , .

Заметим, что составляющие и не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма + и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке В находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т.е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то и задача становится статически определимой.

Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках А и В находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их реакций вдоль оси вращения равны нулю. Следовательно, уравнения равновесия примут вид:

1) ,

2) ,

4) ,

5) ,

Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.

Тело опирается в трех точках на гладкую поверхность, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через А , В и С и совместим с плоскостью АВС координатную плоскость Аху . Заменив действие связей вертикальными реакциями , и , запишем условия равновесия (7.14) в таком виде:

3) ,

4) ,

5) ,

Третье – пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий , , , так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.

Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций останется только три.

Задача 7.3. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. Силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем , . Длина ребра куба равна а .

Проекции главного вектора находим по формулам (4.4):

, , .

Его модуль равен . Направляющие косинусы будут

, ;

, ;

, .

Главный вектор изображен на рис.

,

а модуль главного момента по формуле (4.8)

Теперь определим направляющие косинусы главного момента:

, ;

, .

Главный момент изображен на рис. Угол между векторами и вычисляется по формуле (4.11) и

Границы искомой области найдем из условий:

,

.

Отсюда находим

,

.

На рис. искомая область, построенная при , заштрихована. При вся поверхность пластины будет безопасной.

О R = 0 и M R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно былоR = 0 и M о = 0. Но векторы имогут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когдаR x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Принципы решения задач на равновесие тела под действием пространственной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5.

Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде­лим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Жела­тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и; точкаС , где пересекаются линии действия неизвестных сил и; точкаD – точка пересечения линий действия сил и. Со­ставим уравнение проекций сил на осьу (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме­чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две:и(рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим . Из третьегоИ из первого

Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.

Силы, сходящиеся в точке. Силы, линии действия которых НС лежат в одной плоскости, образуют пространственную систему сил. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, но не лежат в одной плоскости (рис. 1.59), то они образуют пространственную систему сходящихся сил. Главный момент такой системы сил относительно точки О, в которой пересекаются линии действия сил, всегда равен нулю, т.е. такая система сил в общем случае эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О.

Рис. 1.59.

При использовании ОЗС (1.5) условия равновесия такой системы сил в рассматриваемом случае сводятся к выражению /? = (), и их можно записать в виде трех уравнений равновесия:

Если пространственная система сходящихся сил находится в равновесии, то суммы проекций всех сил на три декартовых оси координат равны нулю.

В случае пространственной системы сил может получиться так, что линия действия силы и ось являются скрещивающимися прямыми. В этом случае при составлении уравнений равновесия используется прием двойного проектирования (рис. 1.60).

Рис. 1.Б0. К приему двойного проектирования сил

Суть этого приема состоит в том, что для нахождения проекции силы на ось сначала проектируем ее на плоскость, содержащую эту ось, а затем уже непосредственно на саму ось: Ё ХУ = Я^пу; Е х = |Т^ гк |с05ф = / г 5туС08ф.

Произвольная пространственная система сил. Силы, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке, образуют произвольную пространственную систему сил (рис. 1.61). Для такой системы отсутствует какая-либо предварительная информация о величинах, или направлениях главного вектора и главного момента. Поэтому необходимые условия равновесия, вытекающие из ОЗС, Я = 0; М 0 = 0, приводят к шести скалярным уравнениям:

	М ох = 0;
	М 0У = 0;
Я 7 -0,	М о? = 0.

Из ОЗС следует, что при равновесии произвольной пространственной системы сил три проекции главного вектора и три проекции главного момента внешних сил равны нулю.

Рис. 1.61.

Практическое использование этих соотношений не вызывает труда в случае нахождения проекций сил, требуемых для вычисления проекции главного вектора, тогда как вычисление проекций векторов моментов может оказаться весьма затруднительным, так как ни величины, ни направления этих векторов заранее не известны. Решение задач значительно упрощается, если использовать понятие «момент силы относительно оси».

Момент силы относительно оси - это проекция на эту ось вектора-момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 1.62):

где /л 0 (/ 7) = г 0 х Т 7 - вектор-момент силы относительно точки О.

Рис. 1.Б2. К определению момента силы относительно оси

Модуль этого вектора равен |ал 0 (/ ;)| = 25 ДО/1й = /7?, где - площадь треугольника ОЛВ.

минуя определение вектора-момента т 0 (Р). Построим плоскость л, перпендикулярную оси, относительно которой определяется момент, и спроектируем силу на эту плоскость. По определению момент силы относительно оси:

с об ос - 28 ДО/)й АО, А 1 В ] - Р К И Х.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси можно определить как произведение модуля проекции силы на плоскость л, перпендикулярную рассматриваемой оси, на расстояние от точки пересечения оси с плоскостью л до линии действия силы Р к, т.е. для определения момента силы относительно оси нет необходимости предварительно определять вектор т а (Р), а затем проектировать его на ось Ох.

Примечание. Заметим, что модуль момента относительно оси не зависит от выбора точки на оси, относительно которой вычисляют вектор момента, так как проекция площади АОАВ на плоскасть л не зависит от выбора точки О.

Из изложенного вытекает последовательность действий при определении момента силы относительно оси (см. рис. 1.61):

• строим плоскость л, перпендикулярную Ох, и отмечаем точку О;
• проектируем силу на эту плоскость;
• вычисляем модуль момента относительно оси и присваиваем полученному результату знак «+» или «-»:
• (1.28)

т ох (Р) = ±РЬ х.

Правило знаков следует из знака проекции вектора т ох (Р): если смотреть с «положительного конца» оси «поворот отрезка И х » силой Р п виден происходящим против хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси считают положительным, в противном случае - отрицательным (рис. 1.63).

Рис. 1.63.

1 Р г - от фр. ргсуесйоп - проекция.

Примечание. Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или пересекает эту ось, т.е. момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости (рис. 1.64).

Рис. 1.В4. Случаи равенства нулю момента силы

относительно оси

С физической точки зрения момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект силы по отношению к оси.

Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Учитывая, что согласно ОЗС для пространственной системы сил, находящейся в равновесии, Я = 0; М а = 0. Выражая проекции главного вектора через суммы проекций сил системы, а проекции главного момента - через суммы моментов отдельных сил относительно осей, получаем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

Таким образом, если произвольная пространственная система сил находится в равновесии, то сумма проекции всех сил на три оси декартовых координат и суммы моментов всех сил относительно этих осей равны нулю.

Пары сил в пространстве. В пространственной системе сил могут встречаться пары сил, расположенные в разных плоскостях, и при вычислении главного момента возникает необходимость нахождения моментов этих пар сил относительно разных точек пространства, не лежащих в плоскости пар.

Пусть силы пары расположены в точках/! и В (рис. 1.65). Тогда имеем: Р А = -Р в, а по модулю Р А = Р в = Р. Из рис. 1.65 следует, что г в = г л + Л В.

Рис. 1.В5. К определению вектора-момента пары сил относительно точки,

не лежащей в плоскости пары

Найдем главный момент пары сил относительно точки О:

Р а х К + р в х Р в = * л х + ? в х Л =

= (г в -?л)х Р в = х Р в = ВЛх Р А = т.

Поскольку положение точки О не вошло в конечный результат, отметим, что вектор-момент пары сил т не зависит от выбора мо-ментной точки О и определяется как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Вектор-момент пары сил перпендикулярен плоскости действия пары и направлен так, чтобы с конца его видеть возможное вращение против хода часовой стрелки. Модуль вектора-момента пары сил равен произведению величины силы пары на плечо, т.е. ранее определенному значению момента пары в плоской системе сил:

т 0 (Р,-Р) = Рк = т. (1.31)

Вектор-момент пары сил является «свободным» вектором; его можно прикладывать в любой точке пространства, не изменяя модуля и направления, что соответствует возможности переноса пары сил в любую параллельную плоскость.

Момент пары сил относительно оси. Поскольку момент пары сил - вектор «свободный», то всегда пару сил, заданную векгором-момента,

можно расположить так, чтобы одна из сил пары (-^) пересекала заданную ось в произвольной точке О (рис. 1.66). Тогда момент

пары сил будет равен моменту силы Р относительно точки О:

т 0 (Р,-Р) = ОЛх Р = т.

Рис. 1.ББ. К определению момента пары сил относительно оси

Момент пары сил относительно оси определяют как проекцию на эту ось вектора-момента силы F относительно точки О, или, что то же самое, как проекцию вектора-момента пары сил m 0 (F,-F) на эту ось:

т х (F,-F) = tn cos ос = Рг х т. (1-32)

Некоторые примеры пространственных связей:

? сферический шарнир (рис. 1.67) позволяет осуществлять поворот вокруг точки в любом направлении. Поэтому, отбрасывая такую связь, нужно приложить силу /V, которая проходит через центр шарнира и неизвестна по величине и направлению в пространстве. Разлагая эту силу по направлениям трех координатных осей, получим три неизвестные реакции: Х А, Y a , Z a ;

Рис. 1.Б7. Сферический шарнир и схематическое изображение его реакций

? подшипник скольжения позволяет реализовать поворот вокруг своей оси и допускает свободу перемещения вдоль этой оси. Предполагая, что размер 8 очень мал и реактивными моментами относительно осей х и у можно пренебречь, получим одну неизвестную по величине и направлению реактивную силу N А или две неизвестные реакции: Х А, У А (рис. 1.68);

Рис. 1.Б8. Реакции подшипника со свободной осью

? подпятник (рис. 1.69) в отличие от подшипника позволяет осуществлять поворот вокруг своей оси, нс допуская перемещения вдоль нее, и имеет три неизвестные реакции: X А, ? Л, Z /1 ;

? глухая пространственная заделка (рис. 1.70). Поскольку при отбрасывании такой связи возникает произвольная пространственная реактивная система сил, характеризуемая главным вектором /? неизвестной величины и направления и главным моментом, например, относительно центра заделки А, также неизвестным по величине и направлению, то представим каждый из этих векторов в виде компонентов по осям: Я = X А + У А + 2 А; М А = т АХ + т АУ + т Аг.

Рис. 1.70.

Делаем вывод, что глухая пространственная заделка имеет шесть неизвестных реакций - три составляющих силы и три момента относительно осей, величины которых равны соответствующим проекциям сил и моментов на координатные оси: X А, У л 2 А, т АХ; т АУ т А/ .

Решение задач. При решении задач на равновесие пространственной системы сил весьма существенным является составление уравнений, которые можно решить простым способом. Для этих целей оси, относительно которых составляют уравнения моментов, следует выбирать так, чтобы они пересекли как можно больше неизвестных сил или были им параллельны. Желательно направлять оси проекций так, чтобы отдельные неизвестные были им перпендикулярны.

При затруднениях, возникающих в процессе определения момента силы относительно осей, следует заменить отдельные силы эквивалентными совокупностями двух сил , для которых вычисления упрощаются. В ряде случаев полезно отображать проекции рассматриваемой системы на координатные плоскости.

Заметим, опуская доказательства, что подобно тому, как это было в плоской системе сил, составляя уравнения равновесия для пространственной системы сил, можно увеличивать число уравнений моментов относительно осей вплоть до шести, соблюдая некоторые ограничения, накладываемые на направление осей, такие, чтобы уравнения моментов были бы линейно независимы.

Задача 1.3. Прямоугольная плита, опертая в точке В на сферический

шарнир и закрепленная в точках А и С с помощью стержней, поддер-

живается в равновесии нитью, как показано на рис. 1.71. Определить реакции связей плиты ЛВС.

Рис. 1.71.

Д а н о: G, т , Za, Z(3 = л/4.

Выбирая начало координат в точке В, выразим составляющие пространственно ориентированной реактивной силы Т по оси z и плоскости Вху :

Т 7 =Т cosa; T XY = Т sin a.

Условия равновесия для данной системы будут представлять систему последовательно решаемых уравнений, которые запишем, опуская пределы суммирования, в виде:

X m z = 0- -Х А а = 0;

=°’ ~T z a + G~m = 0;

X m xi = 0.

Х^ = о, X F n = 0;

T z a + Z c a = 0;

Существуют три вида уравнений равновесия плоской системы сил. Первый, основной вид вытекает непосредственно из условий равновесия:

;

и записывается так:

;
;
.

Два других вида уравнений равновесия также могут быть получены из условий равновесия:

;
;
,

где прямая AB не перпендикулярна осиx ;

;
;
.

Точки A , B и C не лежат на одной прямой.

В отличие от плоской системы сил условиями равновесия произвольной пространственной системы сил являются два векторных равенства:

.

Если эти соотношения спроецировать на прямоугольную систему координат, то получим уравнения равновесия пространственной системы сил:

Задание 1. Определение реакций опор составной конструкции (Система двух тел)

Конструкция состоит из двух ломаных стержней ABC иCDE , соединенных в точкеC неподвижным цилиндрическим шарниром и прикрепленных к неподвижной плоскостиxOy либо с помощью неподвижных цилиндрических шарниров (НШ), либо подвижным цилиндрическим шарниром (ПШ) и жесткой заделкой (ЖЗ). Плоскость качения подвижного цилиндрического шарнира составляет угол с осьюOx. Координаты точкиA , B , C ,D иE , а также способ крепления конструкции приведены в табл. 1. Конструкция загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq , перпендикулярной участку ее приложения, парой сил с моментомM и двумя сосредоточенными силами и . Равномерно распределенная нагрузка приложена таким образом, что ее равнодействующая стремится повернуть конструкцию вокруг точкиO против хода часовой стрелки. Участки приложенияq иM , а также точки приложения и , их модули и направления указаны в табл. 2. Единицы задаваемых величин: q – килоньютон на метр (кН/м);M – килоньютон-метр (кНм); и – килоньютон (кН);ипредставлены в градусах, а координаты точек – в метрах. Углы,иследует откладывать от положительного направления осиOx против хода часовой стрелки, если они положительны, и по ходу часовой стрелки – если отрицательны.

Определите реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Указания к выполнению задания

На координатной плоскости xOy в соответствии с условием варианта задания (табл. 1) необходимо построить точкиA ,B, C ,D ,E ; изобразить ломаные стержниABC ,CDE ; указать способы крепления этих тел между собой и с неподвижной плоскостьюxOy . Затем, взяв данные из табл. 2, загрузить конструкцию двумя сосредоточенными силами и , равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq и парой сил с алгебраическим моментом M . Так как в задании исследуется равновесие составного тела, далее нужно построить еще один рисунок, изобразив на нем отдельно телаABC и CDE . Внешние (точкиA ,E ) и внутреннюю (точкаС ) связи на обоих рисунках следует заменить на соответствующие реакции, а равномерно распределенную нагрузку – на равнодействующую
(l – длина участка приложения нагрузки), направленную в сторону нагрузки и приложенную к середине участка. Поскольку рассматриваемая конструкция состоит из двух тел, то для нахождения реакций связей нужно составить шесть уравнений равновесия. Существуют три варианта решения этой задачи:

а) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела ABC ;

б) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела CDE ;

в) составить по три уравнения равновесия для тел АВС иCDE .

Пример

Дано: A (0;0,2);В (0,3:0,2);С (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
кН/м,
кН, β = - 45˚, и
кН, γ = - 60˚,
кНм.

Определить реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Решение. Разобьем конструкцию (рис. 7,а ) в точкеС на составные частиABC иCDE (рис. 7,б ,в ). Заменим шарнирыA иB соответствующими реакциями, составляющие которых укажем на рис. 7. В точкеC изобразим составляющие
- сил взаимодействия между частями конструкции, причем.

Таблица 1

Варианты задания 1

A

Способ крепления конструкции

x A

y A

x B

y B

x C

y C

x D

y D

x E

y E

т. E

Таблица 2

Данные к заданию 1

	Сила			Сила			Момент M
		Значение		Значение			Значение			Значение

Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей, кН:

Вектор образует с положительным направлением осиy угол φ, который несложно найти по координатам точекC иD (см. рис. 7,а ):

Для решения задачи воспользуемся первым видом уравнений равновесия, записав их отдельно для левой и правой частей конструкции. При составлении уравнений моментов выберем в качестве моментных точек точки A – для левой иE – для правой частей конструкции, что позволит решить эти два уравнения совместно и определить неизвестные
и .

Уравнения равновесия для тела ABC :

Представим силу как сумму составляющих:
, где. Тогда уравнения равновесия для телаCDE могут быть записаны в виде

.

Решим совместно уравнения моментов, предварительно подставив в них известные значения.

Учитывая, что по аксиоме о равенстве сил действия и противодействия
, из полученной системы найдем, кН:

Тогда из оставшихся уравнений равновесия тел ABC и CDE несложно определить реакции внутренней и внешних связей, кН:

Результаты вычислений представим таблицей: