Независимость интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.

Для того, чтобы интеграл (A, B – любые точки из D) не зависел от пути интегрирования (а только от начальной и конечной точек A, B) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл был равен нулю =0

Доказательство (необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых AB=G2 , AB=G1 , C=Г - 1 + G2 .

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы

в области D. Достаточность. Если выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет откуда по лемме следует требуемое утверждение. Необходимость. По лемме для любого контура= 0. Тогда по формуле Грина для области D , ограниченной этим контуром=0. По теореме о среднем=mDили==0. Переходя к пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке.

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы подинтегральное выражение Pdx+Qdy являлось полным дифференциалом некоторой функции u в области D. du = Pdx+Qdy. Достаточность. Пусть выполнено, тогда Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую точку A0 в области D и определим функцию u(A) = u(x,y)=

В этом случае

XÎ (xÎ). Таким образом, существует производная =P. Аналогично, проверяется, что =Q. При сделанных предположениях функция u оказывается непрерывно - дифференцируемой и du = Pdx+Qdy.

32-33. Определение криволинейных интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть lk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(k,k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:

1 = f(k,k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k,k)yk, где хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы 1 при условии, что max(lk)  0

Если предел интегральной суммы 2 или 3 при   0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:
или

сумму:
+
принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:
в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода .

1.Интеграл
- длине дуги АВ

2.Механический смысл интеграла 1 рода.

Если f(x,y) = (x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса:

3.Координаты центра масс материальной дуги:

4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу:

5. Геометрический смысл интеграла 1 рода

Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

, где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из перпендикуляров плоскости оху, вост. в точках М(x,y) кривой АВ.

Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области D с границей L

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

Рассмотрим криволинейный интеграл

взятый по некоторой плоской кривой L, соединяющей точки М и N. Будем предполагать, что функции имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области D. Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой L, а зависит только от положения начальной и конечной точек М и N.

Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в рассматриваемой области D и соединяющие точки М и N (рис. 351). Пусть

Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов (§ 1) имеем

т. e. криволинейный интеграл по замкнутому контуру

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру L, составленному из кривых . Этот контур L можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия, что для любых двух точек М и N криволинейный интеграл не зависит формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек. Действительно, из равенства (2) следует равенство (1).

В примере 4 § 2 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в примере 3 криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования, так как в этом примере интеграл по замкнутому контуру не равняется нулю, а дает площадь, ограниченную рассматриваемым контуром; в примерах 1 и 2 криволинейные интегралы также зависят от пути интегрирования.

Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Пусть во всех точках некоторой области D функции вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, был равен нулю, т. е. чтобы

необходимо и достаточно выполнение равенства

во всех течках области

Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D и для него напишем формулу Грина:

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

Докажем теперь необходимость этого условия, т. е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L в области D, та в каждой точке этой области выполняется и условие (3).

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т. е.

а условие (3) не выполняется, т. е.

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке имеем неравенство

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области D, содержащей точку . Возьмем двойной интеграл по этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области который равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2) и, значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда

вытекает, что

во всех точках данной области

Таким образом, теорема полностью доказана.

В § 9 гл. XIII было доказано, что выполнение условия равносильно тому, что выражение есть полный дифференциал некоторой функции , т. е.

Но в этом случае вектор

есть градиент функции функция градиент которой равен вектору называется потенциалом этого вектора. Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл

По любой кривой L, соединяющей точки М и N, (М) равняется разности значений функции и в этих точках:

Доказательство. Если является полным дифференциалом функции то и криволинейный интеграл примет вид

Для вычисления этого интеграла напишем параметрические уравнения кривой L, соединяющей точки М и

интеграл, сведется к следующему определенному интегралу:

Выражение, стоящее в скобках, есть функция от являющаяся полной производной от функции Поэтому

Как мы видим, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы кривой, по которой производится интегрирование.

Аналогичное утверждение имеет место и для криволинейного интеграла по пространственной кривой (см. ниже § 7).

Замечание. Иногда приходится рассматривать криволинейные интегралы по длине дуги L от некоторой функции

Формула Остроградского - Грина

Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуры С и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Определение 1. Область D называется простой областью, если её можно разбить на канечное число областей первого типа и независимо от этого на конечное число областей второго типа.

Теорема 1. Пусть в простой области определены функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и

Тогда имеет место формула

где С - замкнутый контур области D.

Это формула Остроградского - Грина.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Определение 1. Говорят, что замкнутая квадрируемая область D односвязна, если любую замкнутую кривую l D можно непрерывно диформировать в точку так, что все точки этой кривой принадлежали бы области D (область без “дырок” - D 1), если такое деформирование невозможно, то область назывется многосвязной (с “дырками” - D 2).

Определение 2. Если значение криволинейного интеграла по кривой АВ не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, то говорят, что этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:

Теорема 1. Пусть в замкнутой односвязной области D определены непрерывные, вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда следующие 4 условия равносильны (эквивалентны):

1) криволинейный интеграл по замкнутому контуру

где С - любой замкнутый контур в D;

2) криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования в области D, т.е.

3) дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D, т.е., что существует функция F такая, что (х,у) D имеет место равенство

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) для всех точек (х,у) D будет выполняться следующее условие:

Докажем по схеме.

Докажем, что из.

Пусть дано 1), т.е. = 0 по свойству 2 §1, что = 0 (по свойству 1 §1) .

Докажем, что из.

Дано, что кр.инт. не зависит от пути интегрирования, а только от выбора начала и канца пути

Рассмотрим функцию

Пакажем, что дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом функции F(x,y), т.е. , что

Зададим частный прирост

х F (x,y)= F(х + х, у) -F (x,y)= = == =

(по свойству 3 § 1, ВВ* Оу) = = P (c,y)х (по теореме о среднем, с -const), где x

(всилу непрерывности функции Р). Получили формулу (5). Аналогично получается формула (6).

Докажем, что из.

Дана формула

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Очевидно, что = Р(х,у). Тогда

По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) непрерывные функции, то по теореме о равенстве смешанных производных будут равны и левые части, т.е.., что

Докажем, что из 41.

Выберем любой замкнутый контур из области D, который ограничивает область D 1 .

Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина:

В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, а это значит, что и правая часть равенства равна

Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулировано в виде трёх самостоятельных теорем

Теорема 1*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (.1), т.е.

Теорема 2*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (3):

дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D.

Теорема 3*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (4):

Замечание 2. В теореме2* область D может быть и многосвязной.

Рассмотрим криволинейный интеграл

взятый по некоторой плоской кривой L , соединяющей точки М и N . Будем предполагать, что функции Р(х, у) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области D . Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой L , а зависит только от положения начальной и конечной точек М и N .

Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в рассматриваемой области D и соединяющие точки М и N . Пусть

(1)

Тогда на основании свойств 1 и 4 криволинейных интегралов имеем:

т.е. интеграл по замкнутому контуру L

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру L , составленному из кривых MPN и NQM . Этот контур L можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия:

что для любых двух точек М и N криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю .

Справедливо и обратное заключение:

если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки , а зависит только от положения этих точек . Действительно, что из равенства (2) следует равенство (1)

Теорема

Пусть во всех точках некоторой области D функции Р(х, у), Q(x, y) вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда, для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в этой области, был равен нулю, т.е. чтобы

(2΄)

необходимо и достаточно выполнение равенства

во всех точках области D.

Доказательство

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D и для него напишем формулу Грина:

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

Докажем теперь необходимость этого условия, т.е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L в области D , то в каждой точке этой области выполняется условие (3).

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т.е.

а условие (3) не выполняется, т.е.

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке имеем неравенство

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области , содержащей точку . Возьмем двойной интеграл в этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области , который, по предположению равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2), и значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, не верно. Отсюда вытекает, что

во всех точках данной области D .

Таким образом, теорема полностью доказана.

При изучении дифференциальных уравнений было доказано, что выполнение условия

равносильно тому, что выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , т.е.

Но в этом случае вектор

есть градиент функции u(x, y) ;

Функция u(x, y) , градиент которой равен вектору , называется потенциалом этого вектора.

Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл по любой кривой L, соединяющей точки М и N, равняется разности значений функции и в этих точках:

Доказательство

Если Рdx + Qdy является полным дифференциалом функции u(x, y) , то и криволинейный интеграл примет вид

Для вычисления этого интеграла напишем параметрические уравнения кривой L , соединяющей точки М и N :

Выражение, стоящее в скобках, есть функция от t , являющаяся полной производной от функции по t . Поэтому

Таким образом:

условия независимости криволинейных интегралов II рода от формы пути интегрирования следующие:

Если в некоторой области P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими и , то:

1. в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможно кусочно-гладким кривым , лежащим в данной области и, имеющим общее начало и общий конец одинаковы.

2. интеграл вдоль всякой замкнутой кривой L , лежащей в области D равен нулю.

3. существует такая функция u(x, y) , для которой выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал, т.е.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du .

4. в данной области выполнялось бы условие

в каждой точке области D .

Для вычисления интеграла, не зависящего от контура интегрирования

следует выбрать в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования ломаную, соединяющую точки и , звенья которой параллельны осям Ох и Оу.

Подынтегральное выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy при указанных условиях являются полным дифференциалом некоторой функции u= u(x, y) т.е.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Функцию u(x, y) (первообразную) можно найти, если вычислить соответствующий криволинейный интеграл по ломаной где - любая фиксированная точка, В(х, у) – переменная точка, а точка - имеет координаты х и . Тогда вдоль имеем и dy = 0 , а вдоль имеем x = const и dx = 0 .

Получаем следующую формулу:

Аналогично, интегрируя по ломаной где получим

Примеры

1. Вычислить

Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, т.к.

Выберем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат. На первом участке:

На втором участке:

Следовательно,

2. Найти первообразную u , если

Пусть и контуром К является ломаная OMN . Тогда

3. Найти , если

Здесь начальную точку в начале координат взять нельзя, т.к. в этой точке функции Р(х, у) и Q(x, y) не определены, а потому за начальную точку возьмем, например, . Тогда

4. Найти площадь, ограниченную эллипсом

Площадь фигуры, расположенной в плоскости ХОУ и ограничена замкнутой линией С, вычисляется по формуле

где контур С обходим в положительном направлении.

Преобразуем криволинейный интаграл в определенный, произведя замену

Параметр t пробегает значения от 0 до 2π.

Таким образом

3. Высичлить криволинейный интеграл по длине дуги L, если L – это арка циклоиды

ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ “КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ”

Вариант 1

Где L – отрезок прямой точки A (0;-2) и B (4;0) принадлежащие плоскости XOY.

Вдоль ломаной L:OAB, где O(0,0), A(2,0), B(4,5). Обход контура против часовой стрелки.

По координатам, если L – дуга эллипса лежащая в I-й четверти.

Где L – контур треугольника с вершинами A(1,1), B(2,2), C(1,3). Обход контура против часовой стрелки.

, и найти его.

7. Силовое поле образовано силой F(x,y), равной расстоянию точки ее приложения от начала координат и направленной в начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы y 2 =8x от точки (2;4) до точки (4;4 ).

Вариант 2

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – отрезок прямой соединяющей точки О (0;0) и А (1;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – дуга параболы от точки A(-1;1) до точки B(1,1). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга окружности лежащая в 1 и 2 квадратах. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L – контур, образованный линией и отрезком оси OX при Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке силового поля сила имеет направление отрицательной полуоси ординат и равна квадрату абсциссы точки приложения. Найти работу поля при перемещении единичной массы по параболе от точки (1,0) до точки (0,1).

Вариант 3

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

1. где L – дуга параболы отсеченная параболой .

2. Вычислить криволинейный интеграл если L- отрезок прямой, соединение точки А(0,1), В(2,3). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга первой арки циклоиды .Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – эллипс Обход контура против часовой стрелки.

5. Установить, выполняется ли условие независимости интеграла от пути интегрирования для интеграла , и найти его.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса из точки А (а,0), в точку В (-а, 0).

Вариант 4.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

1. где L – контур квадрата

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга параболы точки А(0,0), до точки В (1,1). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – верхняя половина эллипса Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (1;0), В (1;1), С (0,1). Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке окружности приложена сила , прекциями которой на оси координат являются Определить работу силы при перемещении материальной точки по окружности. Почему работа равна нулю?

Варивнт 5.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – отрезок прямой, соединяющий точки 0 (0,0), и А (4;2)

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга кривой соединяющей точки А(0,1), до точки В (-1,е). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – 1-я четверть окружности Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур, ограниченный и Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Поле образованно силой / / = направление которое составляет угол с направлением радиус – вектора точки ее приложения. Найти работу поля при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности из точки (а,0) в точку (0,а).

Вариант 6.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – четверть окружности лежащая в I квадранте.

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – ломанная АВС, А(1;2), В (1;5), C(3;5). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – верхняя половина окружности Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур, ограниченный , Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Найти работу упругой силы , направленной к началу координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса лежащую в Iквадранте. Величина этой силы пропорциональна удалению точки от начала координат.

Вариант 7.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L –часть параболы от точки (1, 1/4) до точки (2;1).

2. Вычислить криволинейный интеграл где L – отрезок прямой, соединяющей точки В(1;2) и В (2;4). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – первая арка циклоиды Обход контура по часовой стрелке.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Материальная точка единичной массы перемещается по окружности под действием силы , проекциями которой на координате оси является . Построить силу в начале каждой окружности. Найти работу по контуру.

Вариант 8.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – контур прямоугольника с вершинами в точках 0 0(0;0), А (4;0), В (4;2), С (0;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга параболы от точки А (0;0) до точки В (1;2). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – часть окружности лежащая в квадрате 1. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (0;0), В (1;0), С (0;1).Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Материальная точка перемещается по эллипсу под действием силы , величина которой равна расстоянию точки до центра эллипса и направлена к центру эллипса. Вычислить работу силы , если точка обходит весь эллипс.

Вариант 9.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – дуга параболы лежащая между точками

А , В (2;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – отрезок прямой, соединяющей точки А(5;0) и В(0,5). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга эллипса между точками, соответствующими Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – окружность Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке кривой приложена сила , проекциями которой на оси координат являются Определить работу силы при перемещении материальной точки единичной массы по кривой из точки М(-4;0) в точку N (0;2).

Вариант 10.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L –отрезок прямой, соединяющей точки А

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга кривой от точки А(1;0) до В(е,5). Обход контура против часовой стрелки.

3.Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга окружности лежащей в 1У квадрате. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (1;0), В (2;0), С (1;2). Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке линии приложена сила , проекции которой на координатные оси Вычислите работу, совершенную силой при перемещении материальной точки по линии из М(1;0) в точку N (0;3).

Лекция 4

Тема: Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру Г на плоскости и двойным интегралом по области, ограниченной данным контуром.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Г обозначается символом Замкнутый контур Г начинается в некоторой точке В этого контура и заканчивается в точке В. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора точки В.

Определение 1 . Обход контура Г считается положительным, если при обходе контура Г область D остаётся слева. Г + - контур Г обходится в положительном направлении, Г - - контур обходится в отрицательном направлении т.е. в противоположном направлении

Г +

X= x 1 (y)

X= x 2 (y)

Y= y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Рассмотрим двойной интеграл

Аналогично доказывается, что:

Из равенств (1) и (2) получаем:

Следовательно,

Формула Грина при сделанных предположениях доказана.

Замечание 1 . Формула Грина остаётся справедливой, если граница Г области D некоторыми прямыми, параллельными оси 0Х или 0Y пересекается более чем в двух точках. Кроме этого формула Грина справедлива и для n-связных областей.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

В этом параграфе выясним условия, при выполнении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования.

Теорема 1 . Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру в этой области равнялся нулю.

Доказательство: Необходимость. Дано: не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Пусть в рассматриваемой области D взят произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур Г. На контуре Г возьмем произвольные точки B и C.

Так как не зависит от пути интегрирования, то

, т.е.

Достаточность . Дано: Криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Требуется доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл по двум кусочно-гладким контурам, соединяющим точки B и С. По условию:

Т.е. криволинейный

интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Пусть непрерывны вместе с частными производными и в односвязной области D. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось тождество

Доказательство: Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно доказать, что равен нулю по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру. По формуле Грина имеем:

Необходимость. Дано: По теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что