Математическая дисперсия. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Стандартное отклонение выборки

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x , то дисперсией случайной величины x называется величина D x =M (x - M x ) 2 .

Легко показать, что D x = M (x - M x ) 2 = M x 2 - M (x) 2 .

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

, .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия константы равна нулю, D c =0;

• для произвольной константы D (cx ) = c 2 D (x);

• дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D (x ± h ) = D (x) + D (h).

51) Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0 F(x) 1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2) F(x 1), если x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a X

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при x a; 2) F(x)=1 при x b.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При x a ординаты графика равны нулю; при x b ординаты графика равны единице:

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х :

.

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p i для дискретной случайной величины в непрерывном случае.

Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией ) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения.

В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.

В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.

1. Математическое ожидание неслучайной величины

Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

.

2. Дисперсия неслучайной величины

Если - неслучайная величина, то

3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания

, (10.2.1)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство.

а) Для прерывных величин

б) Для непрерывных величин

.

4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения

Если - неслучайная величина, а - случайная, то

, (10.2.2)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Доказательство. По определению дисперсии

Следствие

,

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.

5. Математическое ожидание суммы случайных величин

Докажем, что для любых двух случайных величин и

т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:

.

Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :

;

следовательно,

.

Аналогично докажем, что

,

и теорема доказана.

б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)

. (10.2.4)

Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):

;

аналогично

,

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:

, (10.2.5)

т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.

6. Математическое ожидание линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :

где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что

, (10.2.6)

т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:

.

7. Дисп ep сия суммы случайных величин

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

Доказательство. Обозначим

По теореме сложения математических ожиданий

Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:

По определению дисперсии

что и требовалось доказать.

Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

, (10.2.10)

где - корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин .

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:

, (10.2.11)

где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин , содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины , входящие в систему, некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:

, (10.2.12)

т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.

8. Дисперсия линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.

где - неслучайные величины.

Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой

, (10.2.13)

где - корреляционный момент величин , .

Доказательство. Введем обозначение:

. (10.2.14)

Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:

где - корреляционный момент величин :

.

Вычислим этот момент. Имеем:

;

аналогично

Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).

В частном случае, когда все величины некоррелированны, формула (10.2.13) принимает вид:

, (10.2.16)

т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.

9. Математическое ожидание произведения случайных величин

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).

Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:

т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.

Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

. (10.2.19)

Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае

, (10.2.20)

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции.

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

Докажем, что для независимых величин

Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии

Так как величины независимы, и

При независимых величины тоже независимы; следовательно,

,

Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:

;

аналогично

.

Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:

, (10.2.23)

т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.

11. Высшие моменты суммы случайных величин

В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.

1) Если величины независимы, то

Доказательство.

откуда по теореме умножения математических ожиданий

Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.

Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:

. (10.2.25)

2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой

где - дисперсии величин и .

Доказательство совершенно аналогично предыдущему.

Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.

Дисперсия случайной величины является мерой разброса значений этой величины. Малая дисперсия означает, что значения сгруппированы близко друг к другу. Большая дисперсия свидетельствует о сильном разбросе значений. Понятие дисперсии случайной величины применяется в статистике. Например, если сравнить дисперсию значений двух величин (таких как результаты наблюдений за пациентами мужского и женского пола), можно проверить значимость некоторой переменной. Также дисперсия используется при построении статистических моделей, так как малая дисперсия может быть признаком того, что вы чрезмерно подгоняете значения.

Шаги

Вычисление дисперсии выборки

Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.

• Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
• Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.

1. Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:

   Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.

   • В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Выборочное среднее x̅ = 14.
   • Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.

2. Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.

   Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.

   Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.

   • В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

3. Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.

   Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .

   • В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.

   Вычисление дисперсии совокупности

   1. Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:

      Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:

      Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.

      Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.

      Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.

      Найдите среднее значение полученных результатов. Вы нашли, как далеко каждое значение совокупности расположено от ее среднего значения. Найдите среднее значение суммы квадратов разностей, поделив ее на количество значений в генеральной совокупности.

   2. Соотнесите это решение с формулой. Если вы не поняли, как приведенное выше решение соотносится с формулой, ниже представлено объяснение решения:

      • Находим разность между каждым значением и средним значением совокупности, а затем возводим каждую разность в квадрат, то есть получаем ( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} , ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} и так далее вплоть до ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности.
      • Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
      • Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.

Математическое ожидание показывает, вокруг которой численной меры группируются значения случайной величины. Однако, необходимо также иметь возможность измерять изменчивость (вариативность) случайной величины относительно математического ожидания. Таким показателем изменчивости является математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием, а именно M [(X - М [Х]) 2].

Определение. дисперсией случайной величины x называется число 14 DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

или DX] = ± f (x t) o (*, - M [X]) 2.

На рис.3.26 приведены формулы для расчета распределения - статистической вероятности fx;) - а также показателей: математического ожидания М [Х] (ячейка Е9) и дисперсии D [X] (ячейка G9).

14 Предлагаем сравнить это определение с определением выборочной дисперсии

Рис. 3.26. Формулы расчета м [х] и 0 [Х] В таблице рис.3.27 показаны результаты расчета математического ожидания м [х] и дисперсии 0 [Х] по данным примера 3.14, а также гистограмму распределения м [х] = 4,00 (ячейка Е9) и дисперсия 0 [Х] = 1,00 (ячейка В9).

Математическое ожидание показывает, что значение случайной величины x группируются около значения 4,00, количество которых составляет 50% от общего количества. Однако, вокруг такого же значения могут группироваться и другие данные.

Рис. 3.27. Таблица и гистограмма распределения с А / [Х] = 4,00 и £> [Х] = 1,00

С рис.3.28 видно, что для математического ожиданиям [х] = 4,00 дисперсия £> [Х] = 2,32 является вдвое большей, чем по данным рис. 3.27. О значительной изменчивости свидетельствует и соответствующая гистограмма.

Рис. 3.28. Таблица и гистограмма распределения с М [Х] = 4,00 и £> [Х] = 2,32

Предлагаем сравнить таблицы и графики рис. 3.27 и 3.28 и сделать выводы. Свойства дисперсии случайной величины, которые постоянно используются в вероятностно статистические методы:

o если x - случайная величина, а и Ь - некоторые числа, В = ах + Ь, то

D = a 2 D [X] (3.31)

(это значит, что число а в качестве параметра масштаба существенно влияет на дисперсию, тогда как число b - параметр сдвига на значение дисперсии не влияет);

o если X 1, X 2, X n - попарно независимые случайные величины (то есть X t и X независимые для i Ф j), то дисперсия суммы равна сумме дисперсий

D = D + D + ... + D . (3.32)

Соотношение по математического ожидания (3.25) и дисперсии (3.32) имеют важное значение при изучении выборочных свойств, поскольку результаты выборочных наблюдений или измерений рассматриваются в математической статистике, как реализации независимых случайных величин.

С дисперсией случайной величины тесно связан еще один показатель изменчивости - стандартное отклонение.

Определение. Стандартным отклонением случайной величины x называется неотъемлемое число

SD [X] = + VD [X]. (3.33)

Итак, стандартное отклонениях однозначно связано с дисперсией.

В теории и практике статистических исследований также важную роль играют специальные функции - так называемые моменты (начальные и центральные), которые являются характеристиками случайных величин.

Определение. Исходным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

~ K = M . 15 (3.34)

Определение. Центральным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины x от его математического ожидания:

m = m k, где a = M [X].

Для обозначения мометнив случайных величин используем те же буквы, что и для мометнив вариационного ряда, но с дополнительным знаком ~ ("тильда").

Формулы для вычисления моментов дискретных (которые принимают значения Х и с вероятностью р) и непрерывных (с плотностью вероятности / х)) случайных

величин приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Формулы для вычисления моментов случайных величин

Как и для вариационных строк моменты дискретных случайных величин имеют аналогичный смысл:

Первый начальный момент (¿= 1) случайной величины Хе ее математическим ожиданием:

~ 1 = М [Х] = с. (3.36)

Второй центральный момент (¿= 2) определяет дисперсию 0 [Х] случайной величины x:

Ш г (хи - а) 2 г. и = ЦХ] = (Т 2. (3.37)

Третий центральный момент (¿= 3) характеризует асимметрию распределения случайной величины x:

п

Коэффициент асимметрии а распределения случайной величины x имеет вид:

Г = ~ X (хи "а) 3 Р и = А. (3.38)

Четвертый центральный момент (¿= 4) характеризует крутизну распределения случайной величины.

На основе сравнения значений теоретических и выборочных моментов выполняется оценивания параметров распределений случайных величин (см., Например, разделы 4 и 5).

Как отмечалось выше, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первый - имеет отношение к практике (это показатели выборки), второй - базируется на теории (это показатели вероятностной модели). Соотношение этих показателей представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Соотношение показателей эмпирической выборки и вероятностной модели

Таблица 3.5 продолжение

Итак, целью описательной статистики является превращение совокупности выборочных эмпирических данных на систему показателей - так называемых статистик, имеющие отношение к реально существующих объектов. Так, психологи, педагоги, другие специалисты работают в реальной сфере, объектами которой являются лица, группы лиц, коллективы, характеристиками для которых служат эмпирические показатели. Однако основная цель исследования - это получение нового знания, а знание существует в идеальной форме в виде характеристик теоретических моделей. Отсюда возникает проблема корректного перехода от эмпирических показателей реальных объектов к показателям теоретической модели. Этот переход требует анализа как общих методических подходов, так и строгих математических оснований. Принципиальную возможность здесь открывает закон больших чисел, теоретическое обоснование котором было предоставлено Якобом Бернулли (1654-1705), Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821-1894) и другими математиками XIX в.

Вопрос. Задача.

1. Раскройте понятие случайной величины.

2. Чем отличаются дискретная и непрерывная случайные величины?

3. Из каких элементов состоит вероятностное пространство?

4. Как построить распределение дискретной случайной величины?

5. Как связаны между собой функция плотности Л (х) и функция распределения Б (х)?

6. Предоставьте геометрическую интерпретацию Интеграл Б (со) = | Л (х) сх = 1.

Однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:

«Снайперское» математическое ожидание равно , однако и у «интересной личности»: – оно тоже нулевое!

Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания). Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия .

Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока:

Там мы нашли неутешительное математическое ожидание этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через .

Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием :

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Теперь вроде бы нужно просуммировать результаты, но этот путь не годится – по той причине, что колебания влево будут взаимоуничтожаться с колебаниями вправо. Так, например, у стрелка-«любителя» (пример выше) разности составят , и при сложении дадут ноль, поэтому никакой оценки рассеяния его стрельбы мы не получим.

Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат. Решение удобнее оформить таблицей:

И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание , которое и является мерилом рассеяния:

– определение дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной – возьмите на заметку для практики!

Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы) :
– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты:

Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением и обозначается греческой буквой «сигма»:

Иногда это значение называют стандартным отклонением .

В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания влево и вправо на среднее квадратическое отклонение:

– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем:

Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии. Давайте разберёмся, что она означает применительно к играм. Если в случае со стрелками речь идёт о «кучности» попаданий относительно центра мишени, то здесь дисперсия характеризует две вещи:

Во-первых, очевидно то, что при увеличении ставок, дисперсия тоже возрастает. Так, например, если мы увеличим в 10 раз, то математическое ожидание увеличится в 10 раз, а дисперсия – в 100 раз (коль скоро, это квадратичная величина) . Но, заметьте, что сами-то правила игры не изменились! Изменились лишь ставки, грубо говоря, раньше мы ставили 10 рублей, теперь 100.

Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне , и посмотрим, что здесь к чему:

Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, и в ситуации неопределённости не ставит слишком большие деньги. Например, система «красное/чёрное» в рулетке (см. Пример 4 статьи Случайные величины ) .

Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы «Мартингейл» , в котором на кону оказываются суммы, на порядки превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.

Показательна ситуация в покере: здесь есть так называемые тайтовые игроки, которые склонны осторожничать и «трястись» над своими игровыми средствами (банкроллом) . Неудивительно, что их банкролл не подвергается значительным колебаниям (низкая дисперсия). Наоборот, если у игрока высокая дисперсия, то это агрессор. Он часто рискует, делает крупные ставки и может, как сорвать огромный банк, так и програться в пух и прах.

То же самое происходит на Форексе, других биржах и так далее – примеров масса.

Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание .

Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:

Формула для нахождения дисперсии

Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой:

и найденное матожидание .

Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание – квадрата случайной величины . По определению математического ожидания :

В данном случае:

Таким образом, по формуле:

Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).

Осваиваем технику решения и оформления:

Пример 6

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла.
Можете представлять себе несколько лампочек с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями:)

Решение : Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения , затем и, наконец, суммы в правом столбце:

Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
– лично я обычно округляю до 2 знаков после запятой.

Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе:

вот здесь уже трудно ошибиться:)

Ответ :

Желающие могут ещё более упростить свою жизнь и воспользоваться моим калькулятором (демо) , который не только моментально решит данную задачу, но и построит тематические графики (скоро дойдём) . Программу можно скачать в библиотеке – если вы загрузили хотя бы один учебный материал, либо получить другим способом . Спасибо за поддержку проекта!

Пара заданий для самостоятельного решения:

Пример 7

Вычислить дисперсию случайной величины предыдущего примера по определению.

И аналогичный пример:

Пример 8

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Да, значения случайной величины бывают достаточно большими (пример из реальной работы) , и здесь по возможности используйте Эксель. Как, кстати, и в Примере 7 – это быстрее, надёжнее и приятнее.

Решения и ответы внизу страницы.

В заключение 2-й части урока разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:

Пример 9

Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причём . Известна вероятность , математическое ожидание и дисперсия .

Решение : начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий:

и поскольку , то .

Осталось найти …, легко сказать:) Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:
– подставляем известные величины:

– и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении:

или:

О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему:

Десятичные дроби – это, конечно, полное безобразие; умножаем оба уравнения на 10:

и делим на 2:

Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:
(это более простой путь) – подставляем во 2-е уравнение:

Возводим в квадрат и проводим упрощения:

Умножаем на :

В результате получено квадратное уравнение , находим его дискриминант:
– отлично!

и у нас получается два решения:

1) если , то ;

2) если , то .

Условию удовлетворяет первая пара значений. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения:

и выполним проверку, а именно, найдём матожидание: