Примеры зависимых и независимых событий. Теорема умножения вероятностей. Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Независимые события
При практическом применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие независимости. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида, и т.д. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле.
Определение 2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…
Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого. Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0, называют также теоремой умножения вероятностей.
Утверждение 1. Пусть события А и В независимы. Тогда события и независимы, события и В независимы, события А и независимы (здесь - событие, противоположное А , и - событие, противоположное В ).
Действительно, из свойства в) в (3) следует, что для событий С и D , произведение которых пусто, P (C + D ) = P (C ) + P (D ). Поскольку пересечение АВ и В пусто, а объединение есть В , то Р(АВ) + Р(В) = Р(В). Так как А и В независимы, то Р(В) = Р(В) - Р(АВ) = Р(В) - Р(А)Р(В) = Р(В)(1 - Р(А)). Заметим теперь, что из соотношений (1) и (2) следует, что Р() = 1 – Р(А). Значит, Р(В) = Р()Р(В).
Вывод равенства Р(А) = Р(А)Р() отличается от предыдущего лишь заменой всюду А на В , а В на А .
Для доказательства независимости и воспользуемся тем, что события АВ, В, А, не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий. Следовательно, Р (АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что Р(В)= 1 - Р (АВ) - Р(В)(1 - Р(А)) - Р(А)(1 - Р(В))= (1 – Р(А))(1 – Р(В)) = Р()Р(), что и требовалось доказать.
Пример 3. Рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху – грань с четным номером» и «наверху – грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми.
Разбор примера. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху – грань с 1», «наверху – грань с 2»,…, «наверху – грань с 6». Событие «наверху – грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий – когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий – когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1событие «наверху – грань с четным номером» имеет вероятность ½, а событие «наверху – грань с числом, делящимся на 3» - вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху – грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = ½ х 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости.
Р(А)= 1 - 0,3 = 0,7.
3. Теорема сложения вероятностей противоположных событий
Противоположными
называют
два несовместных события, образующих
полную группу. Если одно из двух
противоположных событий обозначено
через А,
то другое принято обозначать
.
Противоположное событие
состоит в непоявлении событияА.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А)+Р()=
1.
Пример 4. В ящике имеется 11 деталей, из которых 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная.
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
1
способ
.
События “среди извлеченных деталей
есть хотя бы одна бракованная” и “среди
извлеченных деталей нет ни одной
бракованной” - противоположные. Обозначим
первое событие через А,
а второе через
:
Р(А)
=1 - Р()
.
Найдем
Р().
Общее число способов, которыми можно
извлечь 3 детали из 11 деталей, равно
числу сочетаний
.
Число стандартных деталей равно 8;
из этого числа деталей можно
способами извлечь 3 стандартных детали.
Поэтому вероятность того, что среди
извлеченных 3 деталей нет ни одной
нестандартной, равна:
По
теореме сложения вероятностей
противоположных событий искомая
вероятность равна: P(A)=1
- P()=
2 способ. Событие А - "среди извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная" - может реализоваться, как появление:
или события В - "извлечены 1 бракованная и 2 не бракованные детали",
или события С - "извлечены 2 бракованные и 1 не бракованная детали",
или события D - "извлечены 3 бракованные детали".
Тогда A = B + C + D . Так как события B , C и D несовместные, то можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:
4. Теорема умножения вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называют событие C =АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, событие АВС состоит в совмещении событий А, В и С .
Два события называют независимыми , если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ)=Р(А) Р(В).
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А 1 А 2 ... А n ) = Р(А 1 ) · Р(А 2 )...Р(А n ).
Пример 5. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.
Решение . Обозначим события: А - появление герба на первой монете, В - появление герба на второй монете, С - появление герба на двух монетах С=АВ .
Вероятность появления герба первой монеты:
Р(А) =.
Вероятность появления герба второй монеты:
Р(В) =.
Так как события А и В независимые, то искомая вероятность по теореме умножения равна:
Р(С)=Р(АВ) = Р(А) Р(В) = =.
Пример 6. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
Решение . Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А):
Р(А)
=
Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В):
Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С ):
Р(С)=
Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) paвна:
P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.
Пример 7. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А 1 и А 2 соответственно равны р 1 и р 2. Найти вероятность появления только одного из этих событий.
Решение . Введем обозначения событий:
В 1 – появилось только событие А 1 ; В 2 – появилось только событие А 2 .
Появление
события В
1
равносильно
появлению события А
1
2
(появилось первое событие и не появилось
второе), т.е. В
1
=
А
1
2
.
Появление
события В
2
равносильно
появлению события
1
А
2
(не появилось первое событие и появилось
второе), т.е. В
1
=
1
А
2
.
Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий А 1 или А 2 , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий В 1 и В 2 . События В 1 и В 2 несовместны, поэтому применима теорема сложения несовместных событий:
Р(В 1 +В 2 ) = Р(В 1 ) + Р(В 2 ) .
События А, Б, В... называют зависимыми друг от друга, если вероятность появления хотя бы одного из них изменяется в зависимости от появления или непоявления других событий. События называются независимыми , если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или непоявления прочих из них.
Условной вероятностью (РA (В)-условная вероятность события В относительно А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. пример условной вероятности Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).
Умножения вероятностей зависимых событий:
вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А) РA (В)
Пример . У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.
Решение:
Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р (А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность РA (В) = 7 / 9.
По формуле умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) РA (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7 / 10, РB (А) = 3 / 9, Р (В) РB (А) = 7 / 30
Условие независимости событий. Умножение вероятностей независимых событий. Примеры.
Событие В не зависит от события А, если
Р(В/А) = Р(В) т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.
В этом случае и событие А не зависит от события В, тоесть свойство независимости событий является взаимным.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(АВ) = Р(А)Р(В) .
Пример 1: Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна p 1 = 0,8; второго p 2 = 0,9 третьего p 3 = 0,7. Найти надежность прибора в целом.
Решение. Обозначая:
A – безотказная работа приборов,
A 1 - безотказная работа первого узла,
A 2 - безотказная работа второго узла,
A 3 - безотказная работа третьего узла,
откуда по теореме умножения для независимых событий
P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
Пример 2 . Найти вероятность совместного появления цифры при одном подбрасывании двух монет.
Решение . Вероятность появления цифры первой монеты (событие А) Р(А) = 1/2; вероятность появления цифры второй монеты (событие В)- Р(В) = 1/2.
События А и В независимы, поэтому искомую вероятность найдем
по формуле:
Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 1/2 *1/2 = 1/4
Совместность и несовместность событий. Сложение вероятностей двух совместных событий. Примеры.
Два события называются совместными , если появление одного из них не влияет и не исключает появление другого. Совместные события могут реализоваться одновременно, как, например, появление какого-либо числа на одной кости ни
коим образом не влияет на появление чисел на другой кости. События несовместны , если в одном явлении или при одном испытании они не могут реализоваться одновременно и появление одного из них исключает появление другого (попадание в цель и промах несовместны).
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий A или B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).
Пример . Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга
сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?
Решение . Введем обозначения: события А - "попадание первого спортсмена", В - "попадание второго спортсмена", С -"попадание хотя бы одного из спортсменов". Очевидно, А + В = С, причем события А и В совместны. В соответствии с формулой получаем:
P(C) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Р(C) = Р(А)+ Р(В)-Р(А)Р(В),
поскольку А и В - независимые события. Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу для Р(C) , найдем искомую вероятность
Р(С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97
Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях).
Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) × Р(В)
Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:
– в результате броска на 1-й монете выпадет орёл;
– в результате броска на 2-й монете выпадет орёл.
Найдём вероятность события А 1 А 2 (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события А 1 и А 2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Р(А 1 А 2) = Р(А 1) × Р(А 2) =
× =
Аналогично:
= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-ой решка;
= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-ой орёл.
Заметьте, что события , , , образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: + + + = = 1
Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бо льшее количество независимых событий, так, например, если события А, В, С независимы, то вероятность их совместного наступления равна: Р(АВС) = Р(А) × Р(В)×Р(С).
Задача 3
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
S 1 – из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
S 2 – из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
S 3 – из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
По классическому определению: Р(S 1) = = 0,8; Р(S 2) = = 0,7; Р(S 3) = = 0,9; – соответствующие вероятности.
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением S 1 S 2 S 3 .
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Р(S 1 S 2 S 3) = Р(S 1) × Р(S 2) × Р(S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504 – вероятность того, что из 3-х ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.
Ответ : вероятность того, что все детали окажутся стандартными, равна 0,504
Задача 4(для самостоятельного решения)
В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.
Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ». Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий дан в конце урока.
Зависимые события . Событие Х называют зависимым , если его вероятность Р(Х) зависит от одного или бо льшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно дойти до ближайшего магазина:
Х – завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.
Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным Р(Х) = 1, так и невозможным Р(Х) = 0. Таким образом, событие Х является зависимым .
Другой пример, В – на экзамене студенту достанется простой билет.
Если идти не самым первым, то событие В будет зависимым, поскольку его вероятность Р(В) будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.