Уравнения 5 степени примеры. Степенные или показательные уравнения. Основные методы решения уравнений высших степеней

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Класс: 9

Основные цели:

Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

Организационный момент.
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
Актуализация знаний учащихся.
Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
Подведение итогов.
Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
Домашнее задание.
Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

Понятие уравнения с одной переменной.
Понятие корня уравнения, решения уравнения.
Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
Понятие целого рационального уравнения n -й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
Понятие многочлена n -й степени от x . Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z -корни и Q -корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n -й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x: P n (x) = 0 , где P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 – многочлен n -й степени от x , a n ≠ 0 . Если a n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n -й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, x 3 = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z -корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+ 1; + 3; + 5; + 15}. Применим схему Горнера:

	x 3	x 2	x 1	x 0	вывод
	1	-9	23	-15
1	1	1 х 1 – 9 = -8	1 х (-8) + 23 = 15	1 х 15 – 15 = 0	1 – корень
	x 2	x 1	x 0

Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q -корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+ 1; + 3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+ 1; + 3; + 9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+ 1; + ; + ; + 3}. Применим схему Горнера:

	x 3	x 2	x 1	x 0	вывод
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не корень
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не корень
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корень
	x 2	x 1	x 0

Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни .

Если свободный член равен 1

.

Если можно воспользоваться заменой вида y = kx

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x ) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Метод замены переменной.

Биквадратное уравнение вида ax 4 + bx 2 + с = 0 .

Пример: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Замена y = x 2 . Отсюда y 1 = 4, y 2 = -9. Поэтому x 1,2 = + 2 .

Возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0 .

Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители .
За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.

Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.

Использование свойства монотонности функций

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

Формула Кардано
Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z -корней и Q -корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М., Просвещение, 2007 – 112 с.
Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., Педагогика, 1985 – 352 с.
Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

Судя по началу публикации, которое мы здесь опустим, текст писал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика злободневная, вот только так называть Россию, как это делает Мухин...

Как бы кто ни относился к антинародной власти, Россия выше неё и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя лжи американского агенства НАСА.

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич! Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь к вам напрямую.

Мы все ценим ваш подвижнический труд на ниве разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоучёных, лжи либералов. Мы с удовольствием и пользой для себя и общества задумываемся над серьёзными темами, которые вы нам время от времени подбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей с вами Родины вызывают недоумение и сильно огорчают.

Впрочем, посудите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который стал оскорблять свою заболевшую и от этого временно переставшую работать мать?

А ведь Россия, как бы она ни именовалась, и какой бы хорошей или отвратительной ни была власть, - Россия это наша Родина. Родина-мать. За неё наши деды проливали кровь и клали свои жизни.

Поэтому ставить её в один ряд с властью - это опускать духовное возвышенное на уровень материального, да ещё и низкого. Т.е. вы проводите сравнение совершенно различных категорий. Вещь, недопустимая для любого вменяемого человека.

Прошу вас, уважаемый тов. Мухин, серьёзно задуматься над этим.

...А с уравнениями (я этого и не знал) положение таково. Как найти корни квадратного уравнения догадались ещё в древнем Египте .

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвёртой степени, нашли в шестнадцатом веке, а вот найти корни уравнения пятой степени до 2016 года не могли. А пытались далеко не простые люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основоположник символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа, после него найти корни уравнений пятой степени пробовал норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в общем виде.

Читаем в Википедии о заслугах Абеля: «Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени…

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему».

Как видите, если теорему Пуанкаре доказать пытались всё время и Перельман оказался удачливее остальных математиков, то после Абеля за уравнения пятой степени математики и не брались.

А в 2014 году математик из Томска Сергей Зайков , о котором по фото можно судить, что он уже в годах, а по данным из статьи о нём, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, в ходе своей работы получил уравнения пятой степени. Тупик? Да, тупик! Но Сергей Зайков взялся его проломить.

И в 2016 году он нашёл способы решений уравнений пятой степени в общем виде! Сделал то, невозможность чего доказали математики Галуа и Абель.

Я попытался найти сведения о Сергее Зайкове в Википедии, но хрен вам! О математике Сергее Зайкове и о нахождении им решения уравнений пятой степени сведений нет!

Пикантность делу придаёт и то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии - Абелевская премия (Нобель запретил давать премию математикам и теперь её дают за математические испражнения, называя их «физикой »).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков . Однако, самовыдвижение на эту премию не допускается. А Зайков математик-одиночка и нет никаких организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на соискание этой премии.

Правда у нас есть Академия наук, но ведь там академики сидят не для развития математики, а «бабло пилить». Кому там нужен этот Зайков?

Ну а для новостных агентств Зайков - это вам не Перельман! Посему открытие Зайкова для СМИ - это не сенсация.

Вот то, что Порошенко дверью ошибся - это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил проблему, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачей считалось решение алгебраических уравнений. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Мы проходим такие уравнения в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0, и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным потому, что их можно свести к уравнениям, ранее уже решенным. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а уравнение четвертой — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, т. е. более сложному, поэтому традиционные методы решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени сдвинулся с места лишь двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, т. е. в квадратных, кубических и иных корнях, известных нам по школе. А Галуа вскоре, т. е. двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешимых в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической или метациклической. Но Галуа не нашел способ решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор находились лишь частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени», в которой указал способ решения для любых уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему Вы стали решать эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени для решения задачи из другого раздела математики. Я начал выяснять, как его найти, и узнал, что не все из них решаются в радикалах. Тогда я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел лишь критерий, по которому можно определить, какие разрешимы, а какие нет. Я не алгебраист, но, разумеется, как выпускник ФПМК, умею применять и алгебраические методы. Поэтому я с 2014 г. всерьез начал искать решение и нашел его сам.

Способ был найден мной два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но у меня не было денег для ее издания. В этом году я решил, что проще опубликовать лишь часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я поставил своей целью публикацию что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятной для математиков, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому упростил ее, убрав множество длинных формул и значительную часть теории, урезав более чем наполовину, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книжки «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это большое спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет. Он проспонсировал издание книги.

— Возможно ли получение Вами какой-либо премии по математике за решение этой задачи? Например, Вы упоминали Абеля. А ведь есть Абелевская премия по математике, которую считают аналогом нобелевской?

— Полностью исключить такую возможность нельзя. Но и надеяться на это не стоит.

Например, заявки на кандидатов на Абелевскую премию 2019 г. подаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается. А я математик-одиночка. Нет никаких организаций или известных математиков, которые предложат мою кандидатуру. Поэтому она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии, и насколько соответствует духу этой премии вручение ее тем, кто продолжает работы Абеля. Но даже в случае, если она будет представлена, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даются только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, детально описан способ решения, показаны приемы, упрощающие решение. Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. наук, профессор Петр Андреевич Крылов.

ПОДГОТОВИЛА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

В XVI веке математики почти случайно натолкнулись на комплексные числа (см. Главу 11). К XVIII веку комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все еще приводила к ошибке четности, как в труде Леонарда Э своем великом труде по теории чисел «Арифметические исследования» (1801) избегал использования так называемых «мнимых чисел». Как мне кажется, самая важная часть этой работы - первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важной была эта теорема, создав за последующие годы несколько дополнительных доказательств. В 1849 году он переделал первый вариант, на сей раз использовав комплексные числа. Пользуясь современными терминами, можно сказать, что для любого конечного многочленного уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение полиномиальных уравнений высокого порядка создания чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых тернистых проблем алгебры того времени был вопрос, разрешим ли алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов, полиномиал пятого порядка - квинтик. Сейчас в школе учат формулу решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы для решения уравнений третьей и четвертой степени (Глава 11). Но для квинтиков не было найдено ни одного метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, в ней ничего не говорится о существовании формул, дающих точные решения (к тому времени уже существовали приблизительные числовые и графические методы). И вот появились два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802–1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревушке в Норвегии - стране, разоренной долгими годами войны с Англией и Швецией. Учитель, доброжелательно настроенный к мальчику, давал ему частные уроки, но после смерти отца, в восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Абель вынужден был содержать семью. В 1824 году он издал научную статью, в которой заявил, что квинтик не разрешим алгебраическими средствами, как, впрочем, и любой полиномиал более высокого порядка. Абель полагал, что эта статья послужит ему пропуском в научный мир, и послал ее Гауссу в университет Геттингена. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те дни этим приходилось заниматься любому читателю) и не прочитал статью. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю средства для поездки по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого поехал в Берлин. Там он подружился с Августом Леопольдом Крелле (1780–1855), математиком, архитектором и инженером, консультировавшим прусское министерство образования по вопросам математики. Крелл собирался основать «Журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность распространить свой труд и много печатался, особенно в ранних номерах «Журнала», который сразу же стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Норвежец напечатал там расширенную версию своего доказательства, что квинтик неразрешим алгебраическими методами. А затем уехал в Париж. Эта поездка очень огорчила Абеля, потому что он практически не получил так необходимой ему поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстеном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным светилом математического анализа, но имел очень сложный характер. Как выразился сам Абель, «Коши безумен, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он - единственный, кто на что-то способен в математике». Если пытаться искать оправдания проявлениям неуважения и пренебрежения, исходившим от Гаусса и Коши, можно сказать, что квинтик достиг определенной славы и привлекал внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов. Абель возвратился в Норвегию, где все сильнее страдал от туберкулеза. Он продолжал посылать свои работы Крелле, но в 1829 году умер, не зная о том, насколько упрочилась его репутация в научном мире. Через два дня после смерти на адрес Абеля пришло предложение занять научную должность в Берлине.

Абель показал, что любой полиномиал выше четвертого порядка не может быть решен с помощью радикалов, вроде корней квадратных, кубических или более высокого порядка. Однако явные условия, при которых в особых случаях эти полиномиалы могли быть решены, и метод их решения сформулировал Галуа. Эварист Галуа (1811–1832) прожил короткую и богатую событиями жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был неумолим к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и при этом терпеть не мог социальную несправедливость. Он не выказывал никаких способностей к математике до тех пор, пока не прочитал труд Лежандра «Начала геометрии» (изданная в 1794 году, эта книга в течение последующих ста лет была основным учебником). Затем он буквально проглотил остальные труды Лежандра и, позднее, Абеля. Его энтузиазм, уверенность в себе и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с преподавателями и экзаменаторами. Галуа принял участие в конкурсе на поступление в Политехническую школу - колыбель французской математики, но из-за неподготовленности провалил экзамен. Некоторое время после знакомства с новым преподавателем, который признал его дарование, ему удавалось держать свой нрав под контролем. В марте 1829 года Галуа издал свою первую статью о непрерывных дробях, которую считал своей самой значительной работой. Он послал сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл. Более того, он просто потерял рукопись.

Второй провал Галуа при поступлении в Политехническую школу вошел в математический фольклор. Он настолько привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что его привели в бешенство мелочные придирки экзаменаторов. Поскольку экзаменаторы с трудом понимали его объяснения, он бросил тряпку для стирания с доски в лицо одному из них. Вскоре после этого умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах практически вспыхнул бунт. В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, послав их в Академию наук на соискание гран-при по математике. Жозеф Фурье, в то время бывший секретарем академии, умер, так и не прочитав их, и после его смерти статей среди его бумаг не нашли. Такой поток разочарований свалил бы любого. Галуа восстал против власть имущих, потому что чувствовал: они не признавали его достоинств и погубили его отца. Он с головой окунулся в политику, став ярым республиканцем, - не самое мудрое решение во Франции 1830 года. В последней отчаянной попытке он послал научную статью знаменитому французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781–1840), который в ответе потребовал дополнительных доказательств.

Это стало последней каплей. В 1831 году Галуа был дважды арестован - в первый раз за то, что якобы призывал к убийству короля Луи Филиппа, а затем ради того, чтобы его защитить, - власти опасались республиканского бунта! На сей раз он был приговорен к шестимесячному заключению по сфабрикованному обвинению в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского батальона, в который он поступил. Освобожденный под честное слово, он занялся делом, которое вызывало у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к преданному другу Шевалье чувствуется его разочарование. 29 мая 1832 года он принял вызов на дуэль, причины которой до конца не выяснены. «Я пал жертвой бесчестной кокетки. Моя жизнь гаснет в жалкой ссоре», - пишет он в «Письме всем республиканцам». Самая известная работа Галуа была набросана в ночь перед роковым поединком. На полях рассыпаны жалобы: «У меня больше нет времени, у меня больше нет времени». Он вынужден был оставить другим подробное изложение промежуточных шагов, которые были несущественны для понимания основной идеи. Ему необходимо было выплеснуть на бумагу основу своих открытий - истоки того, что ныне называют теоремой Галуа. Он закончил свое завещание, попросив Шевалье «обратиться к Якоби и Гауссу с просьбой публично высказать свое мнение не относительно правильности, а относительно важности этих теорем». Ранним утром Галуа отправился на встречу со своим соперником. Они должны были стреляться с расстояния в 25 шагов. Галуа был ранен и умер в больнице на следующее утро. Ему было всего двадцать лет.

Галуа опирался на работы Лагранжа и Коши, однако он разработал более общий метод. Это было крайне важное достижение в области решения квинтиков. Ученый уделял меньше внимания исходным уравнениям или графической интерпретации, а больше думал о природе самих корней. Для упрощения Галуа рассматривал только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые не могли быть разложены на множители в виде полиномиалов более низкого порядка (как мы сказали, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы нахождения их корней). Вообще неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами - это полиномиал, который не может быть разложен на более простые многочлены, имеющие рациональные коэффициенты. Например, (x 5 - 1) может быть разложен на множители (х-1)(x 4 + х 3 + х 2 + х + 1), тогда как (x 5 - 2) неприводим. Цель Галуа состояла в том, чтобы определить условия, при которых все решения общего неприводимого многочленного уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению заключается в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения не независимы, они могут быть выражены один через другой. Эти соотношения были формализованы в группу всех возможных перестановок, так называемую группу симметрии корней - для квинтика эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти именно вследствие этого их поначалу понимали с большим трудом. Но после того как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений уравнений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основании свойств таких групп. Более того, его теория также обеспечила метод, которым можно было найти сами эти корни. Что касается квинтиков, то математик Жозеф Лиувилль (1809–1882), который в 1846 году издал большую часть работ Галуа в своем «Журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «красивую теорему», и для того, «чтобы неприводимое уравнение исходной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них». Поскольку для квинтика это невозможно, он не может быть решен с помощью радикалов.

За три года математический мир потерял две самые яркие новые звезды. Последовали взаимные обвинения и переоценка ценностей, и Абель и Галуа добились заслуженного признания, но лишь посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лежандра узнал о «потерянной» рукописи Абеля, и в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал отыскать статью своего соотечественника. В конце концов Коши нашел статью, но лишь затем, чтобы ее снова потеряли в редакции академии! В том же году Абелю был присужден Гран-при по математике (совместно с Якоби) - но он был уже мертв. В 1841 году была издана его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые из рукописей Галуа для публикации и во введении выразил сожаление, что первоначально академия отвергла работу Галуа из-за ее сложности, - «действительно, необходима ясность изложения, когда автор уводит читателя с избитого пути на неизведанные дикие территории». Он продолжает: «Галуа больше нет! Не будем впадать в бесполезный критицизм. Давайте отбросим недостатки и посмотрим на достоинства!» Плоды краткой жизни Галуа умещаются всего на шестидесяти страницах. Редактор математического журнала для кандидатов в Эколь Нормаль и Политехническую школу прокомментировал дело Галуа следующим образом: «Соискатель с высоким интеллектом был отсеян экзаменатором с более низким уровнем мышления. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis ».

Прежде всего, вторая страница этой работы не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь некоего скупого принца, кошелек которого будет открыт с помощью этих фимиамов - с угрозой закрыть его, когда восхваления закончатся. Вы не увидите здесь почтительных восхвалений, написанных буквами втрое большими, чем сам текст, обращенных к тем, кто обладает высоким положением в науке, некоему мудрому покровителю - нечто обязательное (я бы сказал, неизбежное) для кого-то в возрасте двадцати лет, кто хочет что-то написать. Я не говорю здесь никому, что я обязан их совету и поддержке всем хорошим, что есть в моей работе. Я не говорю этого потому, что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих в обществе или в науке (в настоящее время различие между этими двумя классами людей практически незаметно), клянусь, это не было бы знаком благодарности. Я обязан им тем, что я издал первые из этих двух статей столь поздно, и тем, что написал все это в тюрьме - в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и я часто поражаюсь своей сдержанности и способности держать рот на замке по отношению к тупым и злобным зоилам. Мне кажется, я могу использовать слово «зоилы» без опасения быть обвиненным в неблагопристойности, поскольку именно так я именую моих оппонентов. Я не собираюсь писать здесь о том, как и почему я был отправлен в тюрьму, но я должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто терялись в папках господ членов академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе подобной неосмотрительности со стороны людей, на совести которых смерть Абеля. На мой взгляд, любой хотел бы, чтобы его сравнивали с этим блестящим математиком. Достаточно сказать, что моя статья по теории уравнений была направлена в Академию наук в феврале 1830 года, что извлечения из нее были посланы в феврале 1829 года, и при этом ничего из этого не было напечатано, и даже рукопись оказалось невозможно возвратить.

Галуа, неопубликованное предисловие, 1832 год

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу