Моменты инерции относительно главных центральных осей. Оси инерции. Изменение моментов инерции при повороте осей

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида

При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения - центробежным моментом инерции.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а)

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида

где р - расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции - см 4 , мм 4 .

Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:

Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).

Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (х с,ус)> определяются из выражений:

где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).

Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Обратите внимание : координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.

Рис. 34.

Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.

В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:

где а - угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным , если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.

Рис. 35.

Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:

При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно , следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.

Направление главных осей инерции можно определить так:

Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.

Рис. 36.

В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями , опуская слово «центральные».

Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.

Рис. 37.

Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.

В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.

Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален , относительно другой - минимален :

Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: J y , тогда: J u = J x cos 2 a +J y sin а = J x .

Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:

гдeJ xi , J y „ J xiyi -моменты инерции отдельных частей сечения.

NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.

Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.

Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:

Момент сопротивления имеет размерность мм 3 , см 3 .

Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.

Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у - i x и i y соответственно, которые определяются по следующим формулам.

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш.сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия ..1983 .

ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1988 .

Задание 5.3.1: Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей х1, у1, х2 : , . Осевой момент инерции относительно оси у2 равен…

1) 1000 см4; 2) 2000 см4; 3) 2500 см4; 4) 3000 см4.

Решение: Верный ответ - 3). Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей на некоторый угол остается постоянной, то есть

После подстановки заданных значений получим.

Задание 5.3.2: Из указанных центральных осей сечения равнополочного уголка главными являются…

1) х3 ; 2) все; 3) х1 ; 4) х2 .

Решение: Верный ответ - 4). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.3: Главные оси инерции …

1) можно провести только через точки, лежащие на оси симметрии;
2) можно провести только через центр тяжести плоской фигуры;
3) это оси, относительно которых моменты инерции плоской фигуры равны нулю;
4) можно провести через любую точку плоской фигуры.

Решение: Верный ответ - 4). На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси U и V .

В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными осями.

Задание 5.3.4: Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…

1) все; 2) х1 и х3 ; 3) х2 и х3 ; 4) х2 и х4 .

Решение: Верный ответ - 1). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.5: Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…

1) центральными осями; 2) осями симметрии;
3) главными центральными осями; 4) главными осями.

Решение: Верный ответ - 4). При повороте осей координат на угол б моменты инерции сечения меняются.

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей x , y . Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей u , v , повернутых на некоторый угол относительно осей x , y , равны

При некотором значении угла центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.

Задание 5.3.6: Момент инерции сечения относительно главной центральной оси хС равен…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2)

Для вычисления используем формулу

Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольный угол а. Для некоторых значений угла a величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.

Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а.

Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.

Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции [см. формулу (31.5) и рис. 19.5]:

Приравниваем этот результат нулю:

где - угол, на который надо повернуть координатные оси у чтобы они совпали с главными осями.

Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что

Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.

Решим уравнение (35.5) относительно угла

Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).

Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, а какая - осью минимум. Так, например, если а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 20.5, то ось и является осью максимум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью ), а ось v - осью минимум.

При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции можно выбранное значение угла и значение подставить в формулу (31.5) или (32.5).

Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем

Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим

Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если то формула (34.5) дает значение центробежного момента инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, полученные путем поворота системы координат являются главными осями инерции (так же как оси ). В этом случае

2. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей () по одной из осей симметрии, а другую - перпендикулярно к ней. Для этих осей Если фигура имеет более двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью . Обозначим такую ось а перпендикулярную к ней ось

Центробежный момент инерции так как ось является осью симметрии. По формуле же (34.5).

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ОСИ ИНЕРЦИИ" в других словарях:

Главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно этих осей… … Большая советская энциклопедия

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь

главные оси инерции - Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика

главные оси инерции - три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… …

- … Википедия

Оси главные - : Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии

Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия

Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия

Книги

Торетическая физика. Часть 3. Механика твердого тела (2-е издание) , А.А. Эйхенвальд. Третья часть данного курса теоретической физики представляет собой естественное продолжение части II: основные принципы механики применяются здесь к твердому телу, т. е. к системе…