Полиномы с коэффициентами 1 1. Массивы. Тестируйте возможности платных решений

Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде а 0 +а 1 х+а 2 х 2 +…, а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты а 0 +а 1 +а 2 легко определяются символьным процессором Mathcad. Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас, довольно сложными) других переменных.

Рис. 5.10 . Вычисление коэффициентов полинома

Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты (Polynomial Coefficients ) в выражении при помощи меню (рис. 5 10):

Введите выражение.
Выделите в нем имя переменной или выражение, для которого требуется рассчитать полиномиальные коэффициенты (в примере на рис. 5.10 это переменная z).
Выполните команду Symbolic › Polynomial Coefficients (Символика › Коэффициенты полинома).

В результате под выражением появится вектор, состоящий из полиномиальных коэффициентов. Первым элементом вектора является свободный член а 0 , вторым - а 1 , и т. д.

Конкретная задача, требующая вычисления полиномиальных коэффициентов, приведена в разделе, посвященном численному отделению корней полинома (см. разд. "Корни полинома" гл. 8).

Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты с помощью оператора символьного вывода:

Введите выражение.
Нажмите кнопку Coeffs на панели Symbolic (Символика).
Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова coeffs аргумент полинома.
Введите оператор символьного вывода →
Нажмите клавишу Enter .

Примеры вычисления коэффициентов полинома приведены в листингах 5.7 и 5.8. Листинг 5.7 показывает расчет коэффициентов для разных аргументов. Последний листинг демонстрирует возможность определения коэффициентов не только для отдельных переменных, но для более сложных выражений, входящих в рассматриваемую формулу в качестве составной части.

Листинг 5.7 . Вычисление коэффициентов полинома:

Листинг 5.8 . Вычисление полиноминальных коэффициентов для простой переменной и выражения:

Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде а 0 +а 1 х+а 2 х 2 +..., а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты а 0 +а 1 +а 2 легко определяются символьным процессором Mathcad. Коэффициенты сами могут быть функциями (подчас, довольно сложными) других переменных.

Рис. 5.10. Вычисление коэффициентов полинома

Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты в выражении при помощи меню (рис. 5 10):

Введите выражение.
Выделите в нем имя переменной или выражение, для которого требуется рассчитать полиномиальные коэффициенты (в примере на рис. 5.10 это переменная z).
Выполните команду Symbolic / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома).

Чтобы вычислить полиномиальные коэффициенты с помощью оператора символьного вывода:

Введите выражение.
Нажмите кнопку Coeffs на панели Symbolic (Символика).
Введите в местозаполнитель после вставленного ключевого слова coeffs аргумент полинома.
Введите оператор символьного вывода ->
Нажмите клавишу .

Примеры вычисления коэффициентов полинома приведены в листингах 5.7 и 5.8. Листинг 5.7 показывает расчет коэффициентов для разных аргументов. Последний листинг демонстрирует возможность определения коэффи-щентов не только для отдельных переменных, но для более сложных выражений, входящих в рассматриваемую формулу в качестве составной части.

Листинг 5.7. Вычисление коэффициентов полинома

Листинг 5.8. Вычисление полиноминальных коэффициентов для простой переменной и выражения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ

ЛАГРАНЖА

Задание. Вычислить приближенное значение функции при данном значении аргумента х* с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа; построить график многочлена Лагранжа, проходящий через заданные шесть точек.

Краткое описание метода.

Начнем с рассмотрения задачи интерполяции в наиболее простом и полно исследованном случае интерполирования алгебраическими многочленами. Для заданной таблицы данных)

интерполяционным многочленом , если он удовлетворяет условиям

Равенство (7.2) можно записать в виде системы уравнений

относительно коэффициентов многочлена а к . Эта система однозначно разрешима, так как система функций 1, х, х 2 , …х п линейно независима в точках х 0 , х и .х п. Однозначная разрешимость системы(7.3) следует из того хорошо известного факта, что определитель этой системы (определитель Вандермонда)

отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 7.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени п, удовлетворяющий условиям (7.2).

Замечание. На практике система (7.3) никогда не используется для вычисления коэффициентов интерполяционного многочлена. Дело в том, что она часто является плохо обусловленной. Кроме того, существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного многочлена, которые и применяются при интерполяции. Наконец, в большинстве приложений интерполяционного многочлена явное вычисление коэффициентов а к не нужно.

Задача интерполяции состоит в построении функции (x) удовлетворяющей условию Другими словами, ставится задача о построении функции, график которой проходит через заданные точки (x i ,y i) Так как функция (x) проходит через все заданные точки, то этот метод называется глобальной интерполяцией. Наиболее простой и полно исследованный случай - интерполяция алгебраическими многочленами. Одна из форм записи интерполяционного многочлена -многочлен Лагранжа:

Как нетрудно видеть, представляет собой многочлен, удовлетворяющий условиям

Таким образом, многочлен Лагранжа действительно является интерполяционным.

В инженерной практике наиболее часто используется интерполяция многочленами первой, второй и третьей степени. Приведем соответствующие формулы для записи многочленов Лагранжа первой и второй степени:

Пример 7.1. Пусть задана таблица значений функции у =ln x:

X	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
У	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

Для приближенного вычисления значения 1п(1,23) воспользуемся линейной и квадратичной интерполяцией.

Возьмем х 0 =1,2 и x 1 =1,3. Вычисление по формуле (7.4) дает значение 1n(1,23) 0,206335 .

Для применения квадратичной интерполяции возьмем х 0 =1,1, x 1 =1,2, х 2 =1,3 - три ближайших к точке х =1,23

узла. Вычисляя по формуле (7.5), имеем 1n(1,23) 0,207066.

Приведем без доказательства наиболее известную теорему о погрешности интерполяции.

Теорема 7.1. Пусть функция f(x) дифференцируема n+1

раз на отрезке [а, b], содержащем узлы интерполяции Тогда для погрешности интерполяции в точке справедливо равенство

в котором

- некоторая точка, принадлежащая интервалу (а, b).

Основное неудобство в использовании этой теоремы состоит в том, что точка неизвестна. Поэтому чаще всего используется не сама теорема, а ее следствие.

Следствие. Справедлива оценка погрешности интерполяции в точке , имеющая, вид

а также оценка максимума модуля погрешности интерполяции на отрезке имеющая вид

Пример 7.2. Оценим погрешность приближений к

ln(1,23) , полученных в примере 7.1 с помощью интерполяции многочленами первой и второй степени. В этих случаях неравенство (7.7) примет вид

Заметим, что для имеем и . Поэтому здесь

Тогда в силу неравенств (7.9) и(7.10) получаем следующие оценки погрешности:

Если на отрезке , производная меняется слабо, то величина абсолютной погрешности почти полностью определяется значением функции . Представление о типичном характере поведения этой функции можно получить из рис. 1. Обратим внимание на то, что при выходе аргумента х за пределы отрезка наблюдения значение быстро становится очень большим. Это объясняет ненадежность экстраполяции функции для значений аргумента, удаленных от отрезка наблюдения.

Пусть теперь и пусть i -й шаг таблицы, а Несколько огрубляя оценку (7.8), можно получить следующее неравенство

Оно позволяет утверждать, что для достаточно гладкой функции при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции на отрезке [х 0 , х n ] при стремится к нулю не медленнее, чем некоторая величина, пропорциональная . Этот факт принято формулировать так: интерполяция многочленом степени п имеет (n+1)-й порядок точности относительно h max . В частности, линейная и квадратичная интерполяция имеют второй и третий порядок точности соответственно.

Варианты	x*	x i	y i	Варианты	x*	x i	y i
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275

Алгоритм программы

Использовать модули crt и graph;

определение переменных;

начало исполняемой части программы

задание значений элементов массивов х[i] и y[i]; задание значения аргумента хz; уz = 0; в цикле по i от 0 до 5 выполнять

| в цикле по ] от 0 до 5 выполнять если * / то |хх =хх (хz - х[j]/(х[i] - х[j]);

| y z =y z+y[i] x x

конец цикла по i ;

вывод на экран значений хz и уz;.

ожидание нажатия клавиши Еnter;

переход в графический режим;

изображение заданных точек (х i ,у i);

изображение графика многочлена Лагранжа;

ожидание нажатия любой клавиши конец программы.

Указание. При работе в графическом режиме воспользуйтесь программами из предыдущих лабораторных работ.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит задача интерполяции?

2. Какой многочлен называется интерполяционным многочленом?

3. В чем состоит различие между глобальной и локальной интерполяцией?

4. Как зависит степень интерполяционного многочлена Лагранжа от числа узлов?

5. Сколько многочленов существует, удовлетворяющих условию интерполирования?

6. В чем состоят недостатки интерполяционного многочлена Лагранжа?

7. Как оценивается погрешность интерполяции?

8. Как изменяется точность интерполяции в зависимости от расстояния от отрезка наблюдения и почему?

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы, полученные результаты и график.

Полиномиальные коэффициенты

Мультиномиальные коэффициенты - коэффициенты в разложении по мономам :

Значение мультиномиального коэффициента определено для всех целых неотрицательных чисел n и таких, что :

Биномиальный коэффициент для неотрицательных n ,k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2 ), а именно

В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент равен числу упорядоченных разбиений n -элементного множества на m подмножеств мощностей .

Свойства

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Полиномиальные коэффициенты" в других словарях:

- (от англ. spline, от spline гибкое лекало, полоса металла, используемая для черчения кривых линий) функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым… … Википедия

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты коэффициенты в разложении по мономам: Явная формула Значение мультиномиального коэффициента … Википедия

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Многочлен (или полином) от n переменных это конечная формальная сумма вида, где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), число… … Википедия

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

Прямоугольная таблица состоящая из тстрок и n столбцов, элементы к рой принадлежат нек рому множеству К. Таблица (1) наз. также матрицей над К, или мат рицей размера над K. Пусть совокупность всех матриц над К. Если т=п, то (1) наз. квадратной… … Математическая энциклопедия

В отмечается, что в случае, когда характеристика нелинейного элемента аппроксимируется выражением, содержащим более трех точек, значение функции целесообразно выбирать при равноотстоящих значениях аргумента. Кроме того, если число заданных точек превышает число подлежащих определению коэффициентов аппроксимации, рекомендуется использовать «метод наименьших квадратов», при котором среднеквадратичная ошибка минимальна, т.е. при этом способе сумма квадратов отклонений полинома данной степени от кривой является наименьшей.

В соответствии с этим, несмотря на существующие компьютерные программы, целесообразно привести краткую рецептуру пользования этим методом, что позволит студенту осмыслить математическую суть метода и с помощью простых микрокалькуляторов выполнить любую аппроксимацию за оптимально короткое время.

В отмечается, что вычислить коэффициенты полинома по способу наименьших квадратов наиболее рационально с помощью введенных Ю.Б. Кобзаревым ортогональных полиномов для заданного числа N – равноотстоящих точек.

Обозначим через полином степениl . Тогда система полиномов будет ортогональной для данного числа точек, если при любых
выполняется равенство

. (16)

Воспользовавшись известными ортогональными многочленами Чебышева по методу Ю.Б. Кобзарева найдены все семь полиномов, образующих такую систему на отрезке
дляN=11 равноотстоящих точек , т.е. при
; –0,8; … 0 … 0,8; 1,0 имеем:

(17)

Система (17) ортогональных полиномов обладает тем замечательным свойством, что разложение по ним любой заданной функции дает наилучшее приближение в смысле наименьших квадратов. Поэтому вместо, например, выражения (18) коэффициента передачи по степеням напряжения
с неизвестными коэффициентами, можно записать его, представив в виде суммы (19) рассмотренных выше полиномов:

(18)

. (19)

Здесь Р – степень полинома; р – целое число, равное номеру слагаемого; – коэффициент, имеющий размерность
, который можно назвать крутизной порядкар , т.е. есть крутизна нулевого порядка,– первого порядка и т.д.

Входящая сюда величина х пропорциональна напряжению
, отсчитываемому от середины участка аппроксимации
, т.е. при изменении
в пределах
,х меняется от –1 до 1, поэтому

. (20)

Для определения коэффициента
в (19) умножим обе части равенства на полином
и просуммируем по всем точкам. Тогда, используя свойство ортогональности (16), находим

. (21)

, (22)

где
– нормированный полином

. (23)

Так как нулевому узлу соответствует левый конец участка аппроксимации, т.е.
, то сумму (22) удобно разбить на суммы, гдех <0 и х >0, так как четные полиномы (р = 0, 2, 4, 6) на этих участках ничем не отличаются, а нечетные (р =1, 3, 5, 7) отличаются лишь знаками. В связи с этим целесообразно ввести нечетную
и четную
компоненты коэффициента усиленияК :

(24)

где
- шаг изменениях (в нашем случае при N =11
);

- величина коэффициента усиления в точках
.

Теперь вместо сумм по положительным и отрицательным значениям можно взять суммы только по положительным с использованием четной и нечетной составляющей коэффициента усиления. Тогда

(25)

Сведя в табл. 1 значения коэффициентов нормированных полиномов
и используя их, легко найти коэффициенты
по формулам (25), далее в (19) сгруппировать члены по степенямх и перейти к представлению коэффициента усиления в виде полинома по степеням
. Коэффициенты этого полинома будут подобраны наилучшим в смысле наименьших квадратов способом, при котором экспериментальная кривая
будет практически сливаться с теоретической кривой
.

Вычисление коэффициентов полинома, используемого при гармоническом анализе для определения коэффициентов и параметров нелинейности и, в конечном итоге, для выбора оптимального режима усилительного прибора рассмотрим на конкретном примере.

Таблица 1