Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. Нелинейные колебания Нелинейные колебания
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Нелинейность процессов, в том числе и колебаний, математически выражается в нелинейности соответствующих уравнений движения. С точки зрения физики нелинейность колебаний характеризуется двумя совершенно различными свойствами: ангармоничностью и неизохронностью. Под ангармоничностью понимают наличие в спектре колебаний частот, кратных основной, - Фурье-гармоник, или обертонов. Неизохронными называются колебания, частоты (основной и высших гармоник) которых зависят от амплитуды или энергии колебаний.
Классическим примером нелинейных колебаний может служить обращение планет вокруг Солнца - задача, с решения которой начались современные механика и физика. По третьему закону Кеплера, частота со обращения планет вокруг Солнца задаётся их полной энергией:
w=│E │ 3/2 .
Неизохронность, вообще говоря, не связана с ангармоничностью. Так, заряженная частица, движущаяся по круговой орбите в постоянном магнитном поле со скоростью, близкой к скорости света, совершает колебания чисто гармонические, а частота её обращения обратно пропорциональна энергии.
НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Линейный (в отсутствие затухания - гармонический) осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Его уравнение движения (по второму закону Ньютона):
где х - величина, колебания которой описывает модель (амплитуда смещения маятника, ток или напряжение в колебательном контуре, численность популяции и т. д.),- её «ускорение».
Нелинейный осциллятор - основная модель нелинейной теории колебаний. Его уравнение движения:
где f (.х ) - нелинейная функция, содержащая по крайней мере один нелинейный (не первой степени по х ) член. Полная энергия системы не зависит от времени, т. е. система консервативна.
Неизохронные колебания совершает, например, частица в плоской потенциальной яме - ящике с бесконечно высокими стенками:
U(x) =0 при - l / 2<х< l / 2; U(х) =¥ при х £- l / 2, х >l / 2.
Частица движется с постоянной скоростью внутри ящика, мгновенно упруго отражаясь на границах. Её кинетическая энергия Е к = mv 2 /2, т. е. скорость V = Ö (2Е к / m ) зависит от энергии. Период колебаний частицы выражается формулой
Из формулы (3) видно, что период колебаний убывает с ростом энергии (для других систем он может возрастать).
Закон сохранения энергии Е осциллятора (консервативной нелинейной системы) имеет вид
Полную качественную картину движения нелинейного осциллятора даёт его фазовый портрет. Из закона сохранения энергии можно вывести
ЛЕОНИД ИСААКОВИЧ МАНДЕЛЬШТАМ
Даже неполный перечень открытий и фундаментальных работ академика Леонида Исааковича Мандельштама (1879-1944) поражает разнообразием: комбинационное и флуктуационное рассеяние света, теория микроскопа, нелинейные колебания и радиотехника, теория резонансов, радиогеодезия, новый вид генераторов электромагнитных волн - параметрические машины. Исключительная, чтобы не сказать болезненная, требовательность Л. И. Мандельштама к результатам работы не позволила включить в этот перечень ряд других, не менее важных открытий, - например, экспериментальное обнаружение в 1912 г. (за несколько лет до классических опытов Стюарта и Толмена) инерции электронов в металлах.
Но за всем впечатляющим разнообразием достижений и широтой интересов в научном творчестве Мандельштама отчётливо прослеживается главная тема - теория колебаний. Впервые познакомившись с этой областью по двухтомной «Теории звука» лорда Рэлея, Мандельштам проникся красотой её идей и неоднократно прибегал к «колебательной помощи», позволявшей находить аналогии между результатами из разных разделов физики.
В Мандельштаме счастливо воплотилось редкое сочетание теоретика и экспериментатора, исследователя и лектора. Он говорил, что существует понимание первого рода, когда читают и понимают всё, что написано, могут вывести любую формулу, но ещё не способны самостоятельно ответить на любой вопрос из прочитанного, и понимание второго рода, когда ясна вся картина, вся связь идей, явлений. Глубокий и тонкий мыслитель, Мандельштам достиг понимания второго рода всей физики и щедро делился знаниями с многочисленными учениками (среди них А. А. Андронов, А. А. Витт, Г. С. Горелик, Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович, В. В. Мигулин, С. М. Рытов, С. П. Стрелков, И. Е. Тамм, С. Э. Хайкин, С. П. Шубин и др.) и студентами.
Родился Мандельштам в Могилёве в семье, давшей миру учёных, врачей и писателей. Вскоре семья переехала в Одессу. До 12 лет мальчик учился дома, затем в гимназии, которую окончил с золотой медалью. В 1897 г. он поступил на математическое отделение физико-математического факультета Новороссийского университета (в Одессе). Через два года в связи со студенческими волнениями юношу исключили из университета. По совету родителей Мандельштам уехал в Страсбург, один из центров физических исследований, где и продолжил образование. В Страсбургском университете тогда преподавали математик Генрих Вебер (ученик Римана и автор классического курса «Дифференциальные уравнения математической физики»), физик Фердинанд Браун (по совместительству директор Физического института), кафедрой теоретической физики заведовал Эмиль Кон (автор известного труда «Электромагнитное поле»).
До сих пор, рассматривая разного типа неустойчивости, мы ограничивали себя только режимами малых амплитуд, когда благодаря возможности линеаризации, сильно упрощается запись и решение дисперсионных уравнений. На самом деле в существующих на практике электронных устройствах в процессе нарастания колебаний, как правило, процессы становятся существенно нелинейными. В качестве немногочисленных исключений можно указать, пожалуй, очень короткоимпульсные или очень короткие вдоль электронного потока электронно-пучковые системы, где колебания не успевают перейти в нелинейную стадию.
Рассматривая особенности нелинейных колебаний, сначала, обратимся к простейшим уравнениям. Вспомним, что линейные колебания автономной одномерной системы без потерь описываются уравнением
Это простейшее уравнение преобразуется к виду, характерному для нелинейных колебаний, если второй член в левой части равенства - нелинейная функция f (x )
(10.5)
Простейший пример нелинейных колебаний - колебания электрона с большой амплитудой в периодическом поле типа показанного на рис.10.1. Такая ситуация реализуется в поле бегущей волны, которая может возникнуть, например, в ЛБВ или ЛОВ .
В
системе координат, движущейся с волной,
изменение потенциальной энергии
электрона описывается
уравнением
(10.6)
Поэтому уравнение движения электрона может быть записано в виде
так
как
и
.
Таким образом, в типичной для СВЧ устройств ситуации движение электрона описывается принципиально нелинейным уравнением. Однако в данном случае проявляется одно из свойств нелинейных систем - их неизохронность , т.е. зависимость их состояния от начальной энергии колеблющейся частицы. Если начальная колебательная энергия электрона мала, он совершает колебательные движения с малой амплитудой вблизи минимума потенциала. В этом случае его движение - практически гармоническое. Если же начальная энергия велика и сравнима с глубиной потенциальной ямы, то амплитуда колебаний тоже велика и в результате движение одновременно становится существенно нелинейным.
Другой отличительной чертой нелинейных колебаний является их негармоничность. Негармоничность нелинейных колебательных поясним подробнее на другом примере.
Пусть мы имеем дело с электронным пучком, распространяющимся вдоль оси x , т.е. движение электронов одномерно. Введем начальную малую по амплитуде модуляцию скорости электронов
,
(10.8)
т.е. теперь полная скорость электронов V равна сумме V=V o +u
Введение этого возмущения приводит к тому, что в пучке начнется группировка электронов. Обратим внимание, что рассматриваемая ситуация близка к реализуемой в клистроне, где в резонаторе происходит модуляция по скорости, а в пространстве дрейфа модуляция по скорости преобразуется в модуляцию по плотности.
Рассмотрим эволюцию пучка во времени в системе координат, движущейся с начальной скоростью электронов V o . В этой системе движение обусловлено только начальным возмущением и уравнение движения можно записать в форме
(10.9)
Равенство нулю полной производной возмущения скорости означает, что мы пренебрегаем возникновением электрических сил из-за группировки электронов и ведем рассмотрение без магнитного поля. Конечно, пренебрежение электрическими силами оправдано только на начальной стадии группировки. Затем электрическими полями сгустков уже пренебрегать будет нельзя. Именно эти поля будут ограничивать группировку. Таким образом, мы более-менее корректно можем анализировать только начальный этап эволюции группировки в пучке электронов. Пренебречь действием магнитного поля можно и в том случае, когда оно существует, но ориентировано в направлении движения электронов. При этом однако важно, чтобы электроны не имели поперечных по отношению к силовым линиям магнитного поля скоростей.
Проследим
эволюцию характеристик электронного
потока, воспользовавшись фазовой
плоскостью x,u
(рис.10.2). Рассмотрим для начала случай,
когда в среде нет дисперсии. В фазовой
плоскости каждая точка движется со
своей скоростью. Точки верхней
полуплоскости движутся вправо, а нижней
- влево, причем скорость каждой точки
пропорциональна удалению от оси х
.
Начальное состояние изображено синусоидой
(тонкая линия на рисунке 10.2a). Затем
синусоида искажается (толстая линия на
том же рисунке) и в результате группировки
электронов формируются максимумы
плотности пространственного заряда
вблизи точек, где величина u
=0
(рис.10.2b). Одновременно изменение по х
скоростей становится негармоническим
и формируются сгустки пространственного
заряда. Далее появляются точки, где
производная
стремится к бесконечности, а следовательно
и концентрация электронов стремится к
бесконечности.
|
|
Затем
происходит “опрокидывание волны”
(кривая на рис.10.2с). После этого уже
существуют пары точек с бесконечной
производной
Дальнейшая эволюция пучка ведет к тому, что сингулярные максимумы расходятся (левые идут налево, а правые в противоположном направлении. Проведенное рассмотрение поясняет группировку электронов в клистроне и ярко иллюстрирует еще одну важную особенность нелинейных систем - их негармоничность . Действительно, распределение скоростей и плотности пространственного заряда в пучке описывались гармоническими функциями только в начальный момент. Далее все |
и
с бесконечной концентрацией электронов
(рис.10.2d).характеристики становятся существенно негармоническими. Это же рассмотрение поясняет условия оптимальной группировки. Такие условия реализуются перед началом опрокидывания волны.
Печенкин А.А. Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории нелинейных колебаний // Философия науки. Вып. 7: Формирование современной естественнонаучной парадигмы – М.: , 2001
А.А.Печенкин
Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории
нелинейных колебаний*
Предварительные замечания
Чтобы показать введенные понятия «в работе», рассмотрим ряд фрагментов истории теории нелинейных колебаний. Термин «теория нелинейных колебаний» мы используем в кунианском социологизированном смысле. Это не просто дедуктивная система (или попытка сформулировать таковую), а социальное явление – представления, развитые в конце 20-х гг. ХХ века и в 30-е гг. сообществом ученых, называемом обычно школой Л.И.Мандельштама. Рассматриваемая таким образом теория нелинейных колебаний сменила нелинейную теорию электрических колебаний голландского физика и радиоинженера Б. Ван дер Поля, над которой тот работал уже в начале 20-х гг. В 1927 г. Л.И.Мандельштам поставил перед своим аспирантом А.А.Андроновым задачу, которая вылилась в серию основополагающих работ, выполненных при участии двух других аспирантов Л.И.Мандельштама – А.А.Витта и С.Э.Хайкина. При этом Л.И.Мандельштам не только инициировал создание теории нелинейных колебаний, но вместе со своим другом и соавтором Н.Д.Папалекси внес вклад в разработку этой теории. В этой разработке участвовали также некоторые другие ученики Л.И.Мандельштама, сотрудники Н.Д.Папалекси, ученики и сотрудники А.А.Андронова, который, переехав в 1931 г. из Москвы в Горький (ныне – Нижний Новгород), основал там свою школу, которая может рассматриваться в качестве ветви школы Мандельштама.
Теория нелинейных колебаний не сразу была признана за рубежом. Ее полноценное признание приходится уже на послевоенные годы, когда Н.Минорский написал свою книгу, в которой представил основные результаты школы Л.И.Мандельштама . В 1949 г. вышел английский перевод книги А.А.Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина «Теория колебаний», изданной в СССР в 1937 г. (поскольку Витт был арестован, его имя было удалено с титула этой книги), книги, представляющей основное содержание и программу теории нелинейных колебаний (так, во всяком случае, говорится в предисловии Мандельштама к этой книге) . В 1966 г. вышел английский перевод второго издания этой книги (1959 г.), подготовленного учеником Андронова Н.А.Железцовым. Впоследствии работы по теории нелинейных колебаний растворились в общем потоке публикаций по нелинейной динамике.
В настоящей статье планируется показать, что не только парадигма, но и идеология направляла формирование и развитие теории нелинейных колебаний, причем именно идеология привела к нетривиальным концепциям, оказавшимся в 70-е гг. в сфере интересов синергетики – теории самоорганизации . В следующем параграфе
речь пойдет о той парадигме, в рамках которой формировалась теория нелинейных колебаний. В третьем параграфе мы рассмотрим эту парадигму «в работе», т.е. обсудим ряд достижений теории нелинейных колебаний (30-е гг.), полученных на пути того, что Т.Кун называл «решение головоломок». В четвертом параграфе будет описана идеология нелинейных колебаний и будет прослежено, как она «работала» за пределами тех задач, которые решались в рамках парадигмы.
Парадигма теории нелинейных колебаний
Как было отмечено выше, теория нелинейных колебаний пришла на смену нелинейной теории электрических колебаний ван дер Поля. Последняя в свою очередь генетически связана с разработкой теории радиотехнического устройства – лампового генератора. В этом устройстве, работающем, как и всякое реальное устройство, с «трением» (т.е. являющемся неконсервативной системой), возникают незатухающие колебания. Конечно, это значит, что система содержит источник энергии (или в систему поступает энергия извне). Однако речь не идет о вынужденных колебаниях. Ламповый генератор сам генерирует незатухающие колебания. Он является автономной системой (дифференциальные уравнения таких систем не содержат времени явно), т.е. системой с непериодическим источником энергии. Незатухающие колебания возникают за счет особой конструкции лампового генератора, включающего, кроме колебательного контура, усилитель (электронную лампу), связанный с колебательным контуром обратной связью.
Оставляя открытым вопрос о парадигме теории ван дер Поля, опишем ту парадигму, которая сложилась в работах Мандельштама, Андронова и их сотрудников в конце 20-х гг. Будем следовать «элементам дисциплинарной матрицы », перечисленным Куном в «Дополнении 1969 г.» к его книге «Структура научных революций».
В качестве первого элемента Кун указывает на «символические обобщения» – математические формулы, выражающие универсальные научные законы. В современной физике – это главным образом дифференциальные уравнения. «Символические обобщения» должны быть достаточно емкими, чтобы постановка конкретных задач шла путем «расшифровки» этих «обобщений».
Ван дер Поль в основном исходил из уравнения, носящего теперь его имя и описывающего принцип действия простого лампового генератора:
d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)
Здесь x – обобщенная координата (в случае лампового генератора – сила тока), t – время, а нелинейный элемент 2x 2 dx/dt выражает работу усилителя (электронной лампы).
В трудах Андронова и других представителей школы Мандельштама «символическим обобщением» становится дифференциальное уравнение, по отношению к которому уравнение ван дер Поля – частный случай. Это следующее уравнение:
d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)
где x и t, как и раньше, обобщенная координата и время, δ – коэффициент затухания, ω – собственная частота, т.е. циклическая частота того процесса, который происходил бы в отсутствии трения и внешней силы, f(x, dx/dt) – нелинейная функция, описывающая действие источника энергии, включенного в систему управления, обеспечивающую незатухающие колебания. Уравнение (2) может быть каждый раз по-своему записано для различных нелинейных задач радиотехники и механики – для описания лампового генератора, часов, фрикционного маятника (так называемого маятника Фроуда, представляющего собой обычный маятник, посаженный с трением на вращающийся с постоянной скоростью вал) и т.д.
На втором месте после «символических обобщений» у Куна стоят «общепризнанные предписания» типа «теплота представляет собой кинетическую энергию частей, составляющих тело». У Мандельштама, Андронова, их сотрудников и учеников таким предписанием было в первую очередь следующее: «построить фазовый портрет колебательной системы – ее траекторию на фазовой плоскости (где осями координат являются х, dx/dt)». Уравнение (2), вообще говоря, не интегрируется, не решается в элементарных функциях. Ван дер Поль, решая уравнение (1), действовал изобретенным им же приближенным методом – методом медленно меняющихся амплитуд (μ трактовалось им как малый параметр). Построение фазового портрета может также рассматриваться как интегрирование. Поскольку фазовый портрет подчиняется строгим законам теории дифференциальных уравнений, построение фазового портрета обеспечивает точное решение дифференциального уравнения. Поскольку фазовый портрет сам по себе не несет количественной информации об амплитуде, фазе и частоте колебаний, то это решение качественное. Отсюда термин, популярный в окружении Андронова, – «качественное интегрирование».
К задаче построения фазового портрета близко подошел ван дер Поль в 1926 г. Действуя методом изоклин, он наметил контуры того, что потом было названо фазовым портретом уравнения (1) . Но его «фазовый портрет» не был объектом качественной теории дифференциальных уравнений, заложенной А.Пуанкаре в последние десятилетия XIX века. Это была скорее картинка, графическая иллюстрация.
Фазовые портреты уравнений (1) и (2) построил Андронов в своих работах 1928–1929 гг., ставших основой его кандидатской диссертации. Андронов показал, что незатухающие колебания, имеющие место в ламповом генераторе, часах и т.д. (он назвал их автоколебаниями), изображаются на фазовой плоскости в виде предельных циклов Пуанкаре – замкнутых кривых, к которым асимптотически приближаются все близлежащие кривые. Предельный цикл окружает особую точку, символизирующую состояние равновесия . В последующих работах Андронов рассмотрел переходные процессы – случаи «жесткого» и «мягкого» возбуждения колебаний в ламповом генераторе – и нашел их геометрические образы на фазовой плоскости.
«Качественное интегрирование» предполагает анализ устойчивости колебаний. Андронов показал, что автоколебаниям соответствуют устойчивые предельные циклы Пуанкаре . При этом существенными оказываются два вида устойчивости: устойчивость по Ляпунову и структурная устойчивость (грубость) колебательной системы. Устойчивость по Ляпунову означает устойчивость по отношению к малым изменениям начальных условий. Термин «грубость динамической системы» был введен Андроновым уже в его первых работах о предельных циклах. Однако корректное формулирование этого понятия было осуществлено им вместе с Л.С.Понтрягиным в 1937 г. Грубой называется система, фазовый портрет которой устойчив по отношению к небольшим изменениям дифференциального уравнения, описывающего эту систему. Чтобы сформулировать «грубость» более точно, надо уравнение (2) переписать в следующем виде:
d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)
где нелинейная функция f(x, dx/dt) представляет уже не только непериодический источник энергии, но и фактор затухания (к тому есть свой резон, так как трение может быть нелинейным). Грубым движением будет устойчивое по отношению к малым изменениям правой части уравнения (3).
Руководствуясь теорией устойчивости, развитой А.М.Ляпуновым в начале ХХ века, Андронов вместе с А.А.Виттом показали, что при условии грубости системы по характеристическим показателям Ляпунова можно судить об устойчивости предельного цикла и, стало быть, о наличии автоколебаний.
автоматического регулирования. Андронов писал, что именно в эти годы им была решена задача устойчивости движений, поставленная перед ним Мандельштамом в 1927 г.
Пользуясь методом припасовывания, фазовый портрет ищут путем составления решения нелинейного уравнения типа (2) из кусочков решений линейных уравнений, аппроксимирующих отдельные участки этого решения, и «сшивания» линейных решений исходя из требования непрерывности решения нелинейного уравнения. При этом константу интегрирования линейного решения, отвечающего последующему линейному кусочку, находят путем «припасовывания» этого участка к предыдущему: начальные значения, характеризующие этот участок, должны совпадать с конечными значениями, характеризующими предыдущий участок.
Тот эскиз фазового портрета, который дает метод припасовывания, сильно зависит от начальных значений, при которых получено решение первого линейного уравнения, словом, от того, при каких условиях начато «припасовывание». При помощи метода точечных отображений этот недостаток может быть отчасти преодолен: во внимание может быть принят интервал возможных начальных значений. Так или иначе, метод припасовывания позволяет судить о характере фазового портрета решаемой задачи и оценить количественные характеристики этого портрета. Он как бы открывает дверь в фазовое пространство, находясь в котором надо уже двигаться по иным законам – не по законам эмпирических наблюдений и правил, а по законам строгой математической теории – качественной теории дифференциальных уравнений.
Выше упоминался другой приближенный метод – метод медленно меняющихся амплитуд, разработанный ван дер Полем. Этот метод тоже использовался для эвристических соображений, касающихся фазового портрета. В 1930 г. Андронов и Витт при помощи метода медленно меняющихся амплитуд рассмотрели явление «захватывания», имеющего место в неавтономной системе (в отличие от уравнений (1) и (2), описывающих автономные системы, в уравнениях для неавтономных систем присутствует член, учитывающий периодическую внешнюю силу)*. При этом они получили образ этого
* Для неавтономных систем типичны «биения», колебания, характеризуемые двумя частотами (частотой ω – см. уравнение (2) и частотой внешней силы). «Захватыванием» называется принудительная синхронизация: изменяя частоту внешней силы, мы наблюдаем, что при некотором значении этого параметра возникают однородные колебания с этой частотой.
явления в фазовом пространстве, т.е. проследили изменение фазового портрета автоколебательной системы с изменением частоты внешней силы .
Метод медленно меняющихся амплитуд состоит в замене уравнения (1) более простыми «укороченными» уравнениями, чье решение аппроксимирует решение исходного уравнения при малых значениях параметра μ. В книге Андронова, Витта и Хайкина объясняется соотношение фазовых портретов исходного уравнения и фазового портрета «укороченных уравнений». Система координат исходного уравнения, помещенная на фазовую плоскость «укороченных» уравнений, вращается по часовой стрелке с угловой скоростью, равной 1. Предельным циклам исходного уравнения соответствуют окружности состояний равновесия на фазовом портрете «укороченных» уравнений, спиралям, накручивающимся на предельные циклы, – прямые траектории на этом вспомогательном фазовом портрете.
Разумеется, эти соответствия ведут лишь к предположительному фазовому портрету исходного уравнения. Однако это предположение вводится в контекст строгой математической теории – качественной теории дифференциальных уравнений. Тем самым оно приобретает более высокий статус в структуре физики. Все теории физики предположительны. Однако среди них имеются замкнутые концептуальные системы, оперирующие строгими понятиями и законами. Эту строгость придает им строгий математический аппарат, в рамках которого они формулируются. Благодаря качественной теории дифференциальных уравнений такой теорией становится теория нелинейных колебаний.
Уже в первых своих работах по предельным циклам Пуанкаре Андронов применял другой асимптотический метод – метод малого параметра, введенный Пуанкаре в «Новых методах небесной механики» (этот метод называют также методом Пуанкаре). В 1930-х гг. в соавторстве с Виттом он применял этот метод в области, выходящей за пределы тех исследований, которые велись на основе качественной теории дифференциальных уравнений.
Сопоставив «онтологические» и «эвристические» модели, мы уже затронули третий элемент куновской «дисциплинарной» матрицы – ценности. Для школы Мандельштама был характерен фундаментализм – предпочтение отдавалось общим физическим теориям, а не «продуктивным» моделям. Как сам Андронов, так и Мандельштам истолковывали работу Андронова по предельным циклам Пуанкаре как основополагающую в теории нелинейных колебаний. Они считали, что благодаря этой работе теория нелинейных колебаний обрела
строгий математический аппарат и тем самым приблизилась по своему статусу к фундаментальной теории (типа механики, электродинамики и т.д.). Ван дер Поль, развивший теорию электрических колебаний и публиковавший свои исследования одновременно с Мандельштамом и Андроновым, не только использовал приближенные методы, он декларировал принципиальную важность этих методов . Мандельштам и Андронов, отдавая должное эффективности методов ван дер Поля, отмечали, что им не было создано теории, «адекватной» рассматриваемому предмету и ведущей к далеко идущим качественным предсказаниям.
В своем предисловии к книге Андронова, Витта и Хайкина Мандельштам подчеркнул концептуальную значимость этой работы. В ней не только разбирались методы, учитывающие нелинейность в виде поправки к линейным расчетам, но и создавался специфический язык нелинейной физики. «В сложной области нелинейных колебаний, – предсказывал Мандельштам, – выкристаллизуются свои специфические общие понятия, положения и методы, которые войдут в обиход физика, сделаются привычными и наглядными, позволят ему разбираться в сложной совокупности явлений и дадут мощное эвристическое оружие для новых исследований»... Физик, интересующийся современными проблемами колебаний, должен уже теперь участвовать в продвижении по этому пути» .
Сказанное не означает, что Мандельштам, Андронов, их сотрудники и ученики недооценивали приближенные методы. Скорее наоборот, почти все их работы 30-х гг. связаны с применением приближенных методов. Предпочтение, отдаваемое точным методам, было своего рода регулятивной идеей. Оно определяло изложение материала в учебниках и обзорных статьях. Кроме того, это предпочтение стимулировало работу по обоснованию приближенного метода медленно меняющихся амплитуд (Л.И.Мандельштам и Н.Д.Папалекси, 1935 г.). И наконец (и это, пожалуй, самое главное), поставив во главу угла качественную теорию дифференциальных уравнений, Андронов в соавторстве с рядом своих сотрудников и учеников разработал теорию эволюции фазового портрета системы, имеющей место при изменении параметра системы. Эта разработка началась с упоминавшегося выше исследования «мягкого» и «жесткого» возбуждения лампового генератора и привела к обогащению теории нелинейных колебаний концепциями «смены устойчивости» и точек бифуркации,
же какой-то асимптотический метод, какой-то корреспонденц-принцип», – говорил Мандельштам . Однако впоследствии он не только одобрил работы своих учеников, использовавших метод малого параметра, но и сам вместе с Н.Д.Папалекси применил этот метод в статье об явлении резонанса второго рода (1934–35 гг.). Андронов и Витт использовали метод малого параметра при расчете системы с двумя степенями свободы. Они сами отмечали, что эта система пока слишком сложна для рассмотрения ее с позиций качественной теории дифференциальных уравнений . Тем не менее, руководствуясь той шкалой ценностей, которая была принята в школе Мандельштама, Г.С.Горелик, один из последних аспирантов Мандельштама и сотрудник Андронова, писал, что «метод малого параметра занимает в его (Андронова) работах совершенно второстепенное место. Главное в них – применение к исследованию нелинейных колебаний качественной теории дифференциальных уравнений и связанных с ней топологических методов» .
И наконец, четвертый компонент «дисциплинарной матрицы » – примеры, на которых отрабатывается формулирование и решение задач, примеры, показывающие как конкретизировать «символические обобщения» и применять к ним «предписания», как «эвристические модели» позволяют построить «онтологическую модель». Как отмечалось выше, теория нелинейных колебаний первоначально складывалась как теория простого радиотехнического устройства – лампового генератора. Это устройство и служило «разделяемым примером», на котором в учебниках объяснялось понятие автоколебаний и использование предельных циклов Пуанкаре для описания автоколебаний. В «Лекциях по колебаниям» Мандельштам приводит еще один пример – маятник Фроуда, в книге Андронова, Витта и Хайкина ламповый генератор соседствует с часами.
Парадигма «в работе»
Чтобы пояснить ту роль, которую играла парадигма в становлении теории нелинейных колебаний, рассмотрим, как были решены две задачи: задача о колебаниях в мультивибраторе Абрагама и Блоха (системе, не содержащей заметных индуктивностей) и задача о колебаниях скрипичной струны. Первая задача (1930 г.) привела к формированию учения о релаксационных колебаниях, сильно несинусоидальных колебаниях, состоящих из быстрых и медленных движений. Вторая (1936 г.) означала прорыв в область распределенных систем, непрерывных сред. В своих первых работах, инициированных
андроновским применением предельных циклов Пуанкаре , Мандельштам, его сотрудники и ученики имели дело исключительно с сосредоточенными системами, колебания которых являются пространственными перемещениями – качаниями маятника, движениями электрического заряда. Хотя параметры, определяющие поведение таких систем – масса маятника, индуктивность и емкость в колебательном контуре, – практически не являются точечными, а распределены по своим пространственным областям, от этой их неточечности можно отвлечься. Сосредоточенные системы описывают обыкновенные дифференциальные уравнения, распределенные – уравнения в частных производных.
Андронов сам дал следующее описание этой истории: «В 1929 г. я стою, – как дальше будет видно, в известном смысле слишком прямолинейно, на той точке зрения, что математическим образом незатухающих колебаний, или автоколебаний, является предельный цикл Пуанкаре . Я рассматриваю различные системы и ищу везде предельные циклы. Однако, я беру обычную идеализированную схему мультивибратора Абрагама – Блоха, содержащую одни только емкости, но показывающую автоколебания. Я пишу дифференциальные уравнения динамики, ищу цикл, но без результатов. Более того, я смог доказать, что рассматриваемые дифференциальные уравнения не могут иметь предельного цикла. Вместо цикла я нашел специфическую кривую, показывающую, что фазовая скорость становится бесконечной. Наличие такой кривой не позволяет однозначно установить движение изображающей точки. Получается парадокс: автоколебания означают циклы, циклов нет, а система
совершает автоколебания. С этим парадоксом я пришел к Мандельштаму, который немедленно понял, в чем дело. После некоторой дискуссии он подытожил: «Если доказано, что циклов нет, это уже что-то. Поскольку система совершает колебания, то либо ваша идеализация негодна, либо Вы не знаете, как с ней работать». Он добавил, что уезжает в Ленинград и постарается там обдумать этот парадокс. По возвращении из Ленинграда он сказал следующее: «Мы с Н.Д.Папалекси думаем, что с вашей идеализацией можно работать и найти периодическое решение, интересное с физической точки зрения. Но это решение не будет принадлежать к непрерывным решениям, которые вы ищете. Это будет разрывное решение, т.е. соответствующее движение изображающей точки будет совершать мгновенные скачки. Мы думаем, что можно найти периодическое решение, если ввести дополнительную гипотезу, что при этих изменениях энергия, запасенная в конденсаторах, изменяется непрерывно». Вскоре я вместе с Виттом попытались реализовать эти соображения Мандельштама. Преодолев некоторые вычислительные трудности, мы нашли разрывное периодическое решение» .
Итак, задача о мультивибраторе Абрагама–Блоха была решена Андроновым в два этапа.
Андронов строго показал, что эта система уравнений «не допускает никаких непрерывных периодических решений». В то же время парадигмальные задачи подсказывали ему, что система является автоколебательной, т.е. совершает непрерывное периодическое движение.
II. Обсудив вопрос с Мандельштамом, Андронов в соавторстве с Виттом решил «головоломку». Удерживая ту же идеализацию, он принял «гипотезу скачка», подсказанную ему Мандельштамом и Папалекси. Эта гипотеза, состоящая в том, что напряжения на конденсаторах непрерывны, позволяет «достроить» фазовую траекторию уравнений мультивибратора до предельного цикла в четырехмерном фазовом пространстве. Изображающая точка, достигнув критического значения (скорость изменения напряжения на сетке обращается в бесконечность), совершает скачок в точку кривой, определенной указанными условиями непрерывности, и затем снова движется по фазовой траектории этих уравнений,
обращается в бесконечность), совершает скачок в точку кривой, определенной указанными условиями непрерывности, и затем снова движется по фазовой траектории этих уравнений.
Задачу о колебаниях скрипичной струны решал Витт, который еще в 1934 г. опубликовал статью о «распределенных автоколебательных системах». В этой работе, однако, как Витт сам оговаривает, он действовал весьма грубыми приближенными методами. Во-первых, он рассматривает нелинейные системы как слабо нелинейные, что дает ему возможность применять метод малого параметра, причем в его самом простом варианте, где учитывается только первый член ряда по степеням параметра μ. Во-вторых, Витт предполагает, что теорема Ляпунова об устойчивости, справедливая для концентрированных систем, имеет силу и для распределенных систем.
В статье о колебаниях скрипичной струны Витт уже работает в рамках парадигмы теории нелинейных колебаний. Математически эта задача формулируется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных: волновое уравнение и уравнения, выражающие граничные условия – одно из них нелинейное. Чтобы привести задачу к виду, соответствующему «символическому обобщению» (1)–(2), Витт использует метод точечных отображений (см. выше). Иными словами, он из уравнений в частных производных получил «функциональное уравнение», к которому в соответствии с методом точечных отображений приводятся задачи с обыкновенными дифференциальными уравнениями. «Чтобы получить универсальные соотношения, мы будем пользоваться безразмерными величинами, – пишет Витт. – Положение точки на струне мы будем измерять величиной y=x/l, где x – расстояние рассматриваемой точки струны от закрепленного конца, / – длина половины струны, время мы будем измерять отношением τ=tc/l=4t/T, где с – скорость распространения колебаний в струне, t – время, T – период основного тона свободных колебаний. Обозначим через u отношение v/l, где v – смещение струны. По Даламберу:
u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (а)
при y=0: u=0 и, следовательно, ъ=0 (для τ>0) (б)
ϕ(τ+Τ )=ψ(ϕ(τ))
с начальными значениями ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.
Это уравнение, определяющее точечные отображения, он исследовал при помощи итераций. При этом он ввел понятие стационарной последовательности, примерами таких последовательностей служат последовательности, все члены которых одинаковы, и периодические последовательности. Он также ввел понятие последовательности, устойчивой по Кёнигсу Аналогия с предельными циклами возникает, когда эти последовательности наносятся на диаграммы Лемерея (графики функции ψ(ϕ(τ)) в декартовых координатах ϕ(τ)=х и ϕ(τ+Т)=ψ).
Витт рассматривал пример весьма простой распределенной нелинейной системы: нелинейность у него была сосредоточенной в точке соприкосновения смычка и струны. Систематическое исследование нелинейных колебаний распределенных систем началось позже – в 50-х гг. И проводилось уже не в рамках «парадигмы автоколебаний», а «идеологии автоколебаний».
Идеология теории нелинейных колебаний
Идеология теории нелинейных колебаний – это в первую очередь понятие автоколебаний, введенное, как отмечалось выше, Андроновым в статьях 1928–1929 гг. Фактически с автоколебаниями имел дело и ван дер Поль, описывая незатухающие колебания в ламповом генераторе, но он не вводил для них специального термина. Андронов же не только ввел специальный термин, он придал этому явлению теоретическую глубину, связав автоколебания с предельными циклами на фазовой плоскости. И до Андронова радиоинженеры и радиофизики знали, что для лампового генератора типичны незатухающие колебания, характеризующиеся своей специфической амплитудой, независящей от условий возбуждения этих колебаний. Андронов, однако, сделал это понятие теоретическим. Он показал,
что устойчивость автоколебаний может пониматься в математическом смысле и эксплицируется как устойчивость по Ляпунову и грубость колебательной системы.
Понятие автоколебаний стало набирать авторитет после Первой Всесоюзной конференции по колебаниям (1931 г.), которую провела школа Л.И.Мандельштама . Автоколебания были в центре внимания этой конференции. Мы читаем в одной из статей 1936 г., что «в настоящее время существует математически строгая и физически адекватная теория обширного класса автоколебательных явлений, доказавшая свою плодотворность в большом числе исследований» . «Явление автоколебаний… встречается в природе на каждом шагу», – пишет в своем учебнике Г.С.Горелик, о подходе которого к методу малого параметра шла речь выше . «Советскими учеными, – говорится в одном из обзоров, – по существу была создана новая область науки о колебаниях – область автоколебаний, которая в настоящее время пополняется новыми исследованиями и результатами» .
В послевоенные годы появляются книги, специально посвященные автоколебаниям. В 1944 г. вышла книга К.Ф.Теодорчика, занявшего в 1939 г. пост. и.о. заведующего кафедрой колебаний, основанной Л.И.Мандельштамом. Книга называлась «Автоколебательные системы», и она выдержала три издания. Три издания выдержала и книга крупного специалиста по проблемам автоматического регулирования А.А.Харкевича «Автоколебания». В предисловии к этой книге, написанной «без единой математической формулы в основном тексте», констатируется «широкое значение автоколебаний не только для техники, но и вообще для естествознания» .
Идеология возникает вместе с парадигмой, можно также сказать, что парадигма несет некую идеологию. Однако идеология распространяется дальше парадигмы. Выше мы охарактеризовали четыре составные части парадигм по Куну: «символические обобщения» (обычно это – дифференциальные уравнения), «предписания» (обычно это – методы решения дифференциальных уравнений), ценности, устанавливающие иерархию среди предписаний, и разделяемые примеры, достаточно простые задачи, позволяющие объяснить, каким образом «предписания» обеспечивают применение «символических обобщений». Как «символические обобщения», так и «предписания» обусловлены определенными правилами (например, правилами математики). Идеология же – это слова и выражения, значения которых разъясняются на примерах (аналогиях и иллюстрациях). Применение этих слов и выражений направляется интуицией. Конечно, в каждом научном сообществе – своя интуиция. Но интуиция
может идти дальше правил и даже ставить проблемы, требующие ревизии правил. Значения слов и выражений могут развиваться, образуя то, что Л.Витгенштейн называл «семейные сходства». Например, значение слова «игра», которое Витгенштейн берет в качестве образца, допускает такие примеры, как шахматы, пасьянс, хоровод. Значение же слова «автоколебания» может быть разработано в ряде иллюстраций, начинающихся ламповым генератором, маятником Фроуда и механическими часами и включающим скрипичную струну, возбуждаемую смычком, звезды переменной яркости (cepheids), сердце и «биологические часы». Если же обратиться к такому предикату , как «быть обусловленным свойствами самой системы, а не начальными условиями», то этот ряд пополнится такими объектами, как автоволны и диссипативные структуры.
Одним из важных признаков идеологического применения понятия является размывание его содержания. Понятие как бы выходит за пределы своей области применения. По сути дела это значит, что формулируются аналоги этого понятия, что возникают новые понятия под тем же самым термином, причем понятия, не определенные четко.
Первым таким порогом, который преступило понятие автоколебаний, был порог между автоколебаниями и вынужденными колебаниями. «В связи с открытием новых принципов генерации автоколебаний и развитием уже известных, понятие автоколебаний после второй мировой войны значительно расширилось. В частности, к автоколебаниям стали относить не только те незатухающие колебания, энергия которых черпается из постоянного источника, но и те колебания, которые поддерживаются за счет энергии другого достаточно сильного колебательного процесса, возбуждаемого извне... (такие колебания могут быть полностью погашены изменением какого-либо параметра системы, скажем, затухания или расстройки)» .
Продолжением этого процесса размывания оказывается репликация понятия в виде лингвистических аналогов. По отношению к автоколебаниям таковой явилось появление понятий автоволны и автоструктуры. Первое ввел Р.В.Хохлов в отзыве на докторскую диссертацию А.М.Жаботинского, посвященную колебательным химическим реакциям (1972 г.). Хохлов имел в виду, что Жаботинский описал не только собственно химические автоколебания, но и похожие волновые процессы, похожие в смысле их суверенности – независимости от начальных и, до некоторых пределов, граничных условий и определимости параметрами системы.
Понятие автоструктур появляется в совместной статье двух авторов, относящих себя к школе Мандельштама, – А.В.Гапонова-Грехова (бывшего аспиранта Андронова) и М.И.Рабиновича . Под автоструктурой понимается устойчивая пространственная или временная упорядоченность, возникающая в распределенной системе с явно выраженной нелинейностью и находящейся далеко от равновесного состояния. Свойством автоструктур снова являются их относительная независимость от начальных и граничных условий.
Нетрудно видеть, что при формулировании таких понятий, как автоволны и автоструктуры, используется не просто какое-либо определение автоколебаний, но языковые формы, заложенные в этих определениях. Эти языковые формы передают уже не просто интуицию предельного цикла, которую несут определения автоколебаний, но скорее интуицию аттрактора вообще.
Выше упоминалась статья Гапонова-Грехова и Рабиновича, в которой вводились «автоструктуры». В интервью, данном автору этих строк (22.05.1992), в ответ на вопрос: «Нельзя ли сказать, что для Вас существенна некая «автоколебательная идеология»?» – М.И.Рабинович сказал: «Да, безусловно. На самом деле даже не в слове дело. Просто автоколебания, как и автоволны, которые придумал Р.В.Хохлов. Он придумал не сами волны, а слово, очень удачный оборот… Но, понимаете, очень удачное слово. Я практически всю жизнь занимаюсь нелинейными диссипативными неравновесными системами. Это могут быть среды. Я, как правило, волновыми задачами занимаюсь или турбулентностью, но там всегда есть диссипация. У меня гамильтоновы системы, системы без трения, без диссипации, всегда предельный случай. Мне интереснее всегда были системы с аттракторами, у которых при t→∞ всегда что-то устанавливается: хаос, так хаос, периодические колебания, так периодические колебания, стохастические структуры – ради бога. В этом смысле для меня структуры и динамический хаос – просто разные типы аттрактора, которые устанавливаются при t, стремящемся к бесконечности, в процессе эволюции поведения системы. Меня всегда интересовали системы, в которых что-то устанавливается, в которых есть нечто объективное, независимое от начальных условий».
Итак, М.И.Рабинович увлечен не столько самой концепцией автоколебаний, сколько содержащейся в ней идеей суверенности, несущей интуицию аттрактора.
Заключение
При философской квалификации научной теории упор обычно делают либо на ее описательные возможности, либо на ее объяснительный инструментарий. В настоящей статье во внимание приняты обе эти ипостаси теоретического знания. Парадигма – это руководство по решению задач, по построению научных объяснений и предсказаний. Идеология же – это язык, аппарат научного описания, простирающегося, как правило, за пределы объяснительных ресурсов.
Примечания
Кун Т . Структура научных революций / Пер. с англ. И.З.Налетова. Под ред. С.Р.Микулинского и Л.А.Марковой. М, 1975. С. 70.
Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Michigan: J.W.Edwards, 1947.
Andronov A.A., Chaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton: Princeton Univ. Press., 1949.
Van der Pol B. On Relaxation Oscillations // Philos. Mag. Ser. 7. Vol. 2, 1926. P. 978–992.
Андронов А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний // IV съезд русских физиков. М., Н.-Новгород, Казань, Саратов (5–16 августа 1928 г.). Перечень докладов, представленных на съезд с кратким их содержанием. М.-Л., 1928. С. 23–24; Он же . Les cycles limites de Poincarй et la thйorie des oscillations autoentrenues // C.r. Acad sci. Paris. T. 189, 1929. P. 559–561. Перепечатано: Андронов А.А. Собр. тр. М., 1956. С. 32–33, 41–43.
Аndronov А.А., Vitt А.А. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99–110. Перепечатано: Горелик Г.С. Колебания и волны. М.; Л.: ГТТИ, 1950. C. 105.
Крылов Н.Н. Пути развития теории нелинейных колебаний в СССР за 50 лет // Радиотехника. 1969. Т. 24, № 5. С. 10.
Харкевич А.А. Автоколебания. М., 1950. С. 5.
Каплан А. Автоколебания (не опубликовано). 1979. С. 5.
Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И . Л.И.Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн // Успехи физических наук. Т. 128, 1979. С. 579–624.
Профессор, д. ф.м. н.
1. Введение
Переменные состояния. Оператор эволюции. Динамические системы (ДС). ДС с сосредоточенными и распределенными параметрами (ДССП и ДСРП). Математическая модель ДССП. Число степеней свободы. Обобщенные координаты и скорости. Фазовые пространства. Интегральные кривые и фазовые траектории. Классификация динамических систем. Методы теории нелинейных колебаний (классификация).
2. Колебания в линейных системах
Линейные автономные динамические системы с одной степенью свободы (линейный осциллятор). Фазовые портреты таких систем. Модели Ломки и Вольтерра. Плоскость параметров системы. Бифуркационные кривые. Неавтономные системы. Резонанс. Нормальные координаты. Колебания в линейных системах с двумя степенями свободы (связанные осцилляторы). Коэффициенты распределения, связанности и связи, графики Вина, внутренний резонанс. Вынужденные колебания в таких системах. Обобщение на n степеней свободы. Колебания в нормальных координатах. Параметрические колебания. Модели Хилла и Матье. Теорема Флоке.
3. Теория устойчивости ДС.
Понятие устойчивости по Ляпунову. Устойчивость равновесного состояния. Устойчивость периодического движения. Прямой метод Ляпунова. Метод первого приближения. Устойчивость линейных систем. Критерии устойчивости Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста. Устойчивость неавтономных систем.
4. Аналитические методы
Особенности аналитических методов. Метод малого параметра Пуанкаре. Нерезонансные вынужденные колебания. Задача Дюффинга. Колебания при резонансе на основной гармонике и на субгармониках. Модель Дюффинга и нелинейный резонанс. Нелинейные фазовые колебания в циклических накопителях электронов. Собственные периодические колебания нелинейных систем. Вариационные методы. Метод Галеркина. Метод вариации параметров. Асимптотические методы. U-метод для автономных систем. Модель Ван-дер-Поля. Триодный генератор. Вращающаяся фазовая плоскость. Асимптотический метод для неавтономных систем. Эквивалентная линеаризация нелинейных систем. Метод усреднения. Перемещение Ван-дер-Поля. Нелинейный резонанс. Перекрытие нелинейных резонансов. Автоколебания в многочастотных системах. Вынужденная синхронизация. Конкуренция. Взаимная синхронизация мод.
5. Качественные методы
5.1. Фазовые портреты консервативных систем. Построение фазовых траекторий на основе энергетического баланса. Фазовые траектории в окрестности равновесного состояния. Типы движений в консервативных системах. Орбитная устойчивость. Неизохронность и ангармоничность нелинейных колебаний. Одночастичные движения в магнитной ловушке (электрон в продольном поле). Модель Вольтерра. Ансамбль нелинейных осцилляторов. Фазовый портрет перекрытия нелинейных резонансов.
5.2. Периодические автоколебания. Предельные циклы на фазовой плоскости. Зависимость формы автоколебаний от параметров системы. Релаксационные автоколебания. "Быстрые" и "медленные" движения. Качественные исследования разрывных колебаний. Модель релаксационного генератора.
5.3. Фазовые портреты равновесных диссипативных систем. Грубость динамической системы. Законы совместного существования особых точек. Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре. Обобщенная электронная схема с нелинейным элементом. Криотронные схемы. Триггерные ячейки памяти. Колебания в сверхпроводящих соленоидах.
6. Метод точечных преобразований.
Метод точечных преобразований при исследовании автоколебательных систем. Криотронный генератор. Гармонический осциллятор с нелинейным затуханием.
7. Применение качественных методов к исследованию неавтономных систем.
Синхронная многолистная фазовая плоскость. Субгармонические колебания в ферромагнитной пленке. Параметрическая неустойчивость. Бетатронные колебания в ускорителях с жесткой фокусировкой. Принцип автофазировки и синхротронные колебания в электронных ускорителях и накопителях.
8. Стохастическая динамика простых систем.
Точечные отображения. Бифуркация периодических движений. Гомоклинические структуры. Случайность в динамической системе. Стохастическая динамика одномерных отображений. Генератор шума, его статистическое описание. Пути возникновения странных аттракторов.
Литература
1. Мандельштам по колебаниям. М.: Наука, 1972.
2. , Хайкин колебаний. М.: Наука, 1964.
3. Стрелков в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.
4. , Митропольский методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
5. Фомель теории нелинейных колебаний. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970.
6. Гольдин ускорителей. М.: Наука, 1983.
7. , Трубецков в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
Министерство образования республики Беларусь
Учреждение образования
Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина
Физический факультет
Кафедра методики преподавания физики и ОТД
КУРСОВАЯРАБОТА
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ
Выполнил студент группы ФИ-51
Пашкевич А.Я.
Научный руководитель:
к. ф.-м. н., доцент Ворсин Н.Н.
Брест, 2012
Введение
1.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы
2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами
2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой
2.2 Различные типы особенностей0
3. Незатухающие и релаксационные колебания
3.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля
3.2 Связанные нелинейные колебания, регенеративный приемник с привязкой по фазе и принцип синхронизации
3.3 Основные уравнения
3.4 Колебания при большойрасстройке
3.5 Комбинированные колебания постоянной амплитуды
3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла
Заключение
Список литературы
Введение
Нет ничего удивительного в том, что физик должен уметь находить решение нелинейных задач, поскольку множество явлений, которые совершаются в мире вокруг него, управляются нелинейными зависимостями. В процессе развития математических наук трудности нелинейного анализа мешали формулировке представлений о нелинейных движениях, которые позволили бы глубже понять такие явления.
Если оглянуться назад на историю достижений науки, поражает тот факт, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем и на линейных понятиях. Если в то же самое время бросить взгляд на окружающий нас мир, буквально на каждом шагу сталкиваешься с явлениями, которые нелинейны по своей природе. Линейные представления дают только поверхностное понимание многого из того, что встречается в природе. Чтобы сделать анализ более реалистичным, необходимо достичь более высокого уровня и большей легкости в понимании и использовании нелинейных представлений.
За последние годы получили развитие компьютерные методы анализа, и во многих случаях полагалось, что полученные решения могут дать лучшее понимание проявлений нелинейности. Вообще говоря, обнаружилось, что простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, чем, например, наблюдение за самой природой, «перемалывающей» решения такой конкретной нелинейной задачи, как погода. Похоже, что наше понимание основывается не на уравнениях или их решениях, а, скорее, на фундаментальных и хорошо усвоенных представлениях. Обычно мы понимаем окружающее, только когда можем описать его посредством понятий, которые настолько просты, что они могут быть хорошо усвоены, и настолько широки, чтобы можно было оперировать ими, не обращаясь к конкретной ситуации. Перечень таких понятий обширен и включает, например, такие термины как резонанс, гистерезис, волны, обратная связь, граничные слои, турбулентность, ударные волны, деформация, погодные фронты, иммунитет, инфляция, депрессия и т. д. Большинство наиболее полезных процессов нелинейны по своему характеру, и наша неспособность описать точным математическим языком такие повседневные явления, как поток воды в водосточном желобе или закручивание дыма от сигареты, частично кроется в том, что мы не желали ранее погрузиться в нелинейную математику и понять ее.
Явление резонанса, как известно, часто встречается в живой материи. Следуя Винеру , Сент-Дьердьи предположил важность резонанса для устройства мышц. Оказывается, что субстанции с сильными резонансными свойствами обычно обладают исключительной способностью запасать как энергию, так и информацию, а такое аккумулирование, несомненно, имеет место в мышце.
Нелинейные колебания, случайные нелинейные колебания и связанные (синхронизированные по фазе) нелинейные колебания составляют самую суть явлений во многих областях науки и техники, например связи и энергетики; ритмические процессы имеют место в биологических и физиологических системах. Биофизик, метеоролог, геофизик, физик-атомщик, сейсмолог - все они имеют дело с нелинейными колебаниями, часто в той или иной форме синхронизированными по фазе. Например, инженер-энергетик занимается проблемой устойчивости синхронных машин, инженер-связист - неустойчивостью временной селекции или синхронизации, физиолог имеет дело с клонусом, невропатолог - с атаксией, метеоролог - с частотой колебаний атмосферного давления, кардиолог - с колебаниями, вызванными работой сердца, биолог - с колебаниями, обусловленными ходом биологических часов.
Основная цель дипломной работы - рассмотреть ряд задач теории нелинейных колебаний, связанных с такими основополагающими понятиями, как захватывание (или синхронизация), слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Будет сделана попытка дать обзор нелинейных задач, представляющих практический интерес, решения которых записаны в доступной форме. Обзор не является исчерпывающим, но он включает примеры задач, которые служат иллюстрацией основных представлений, необходимых для понимания нелинейных свойств систем фазовой синхронизации. Вопрос о существовании и единственности решений затрагивается лишь поверхностно; основное внимание уделяется методам получения решений.
Рассмотренный материал можно сгруппировать по трем основным темам. Первая тема включает изложение результатов теории линейных колебаний в системах с одной степенью свободы, имеющих постоянные параметры. Этот материал используется как справочный и для сопоставления с результатами, полученными из теории нелинейных колебаний. Вторая тема посвящена легко интегрируемым нелинейным системам, на которые не действуют внешние силы, зависящие от времени. Здесь посредством аппарата фазовой плоскости подробно изучаются свободные колебания нелинейных систем. Приводится краткое изложение теории Пуанкаре об особых точках дифференциальных уравнений первого порядка. Полезность понятия об особой точке иллюстрируется решением ряда физических задач. Наконец, третья тема охватывает колебания вынужденные, самоподдерживающиеся (автоколебания) и релаксационные нелинейные колебания. В частности, будет обсуждено применение теории Ван дер Поля к задачам синхронизации и слежения, а завершит главу рассмотрение уравнения Хилла.
1. Свободные колебания в линейных системах
Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.
Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности, соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем
Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление, пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением
По аналогии имеем, что; ; и, причем токявляется аналогом смещения.
Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы
Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения
приводим (1.2) к виду
Поскольку, колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:
где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения
Таким образом, и заданы соотношениями
Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина: а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид
где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока) и скорости в некоторый начальный момент.
Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с. Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению