Как найти точку пересечения прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью общего положения. Пересечение прямой линии с плоскостью

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.

Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)

1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).

3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .

4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.

Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).

При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .

Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).

Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).

3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .

4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.

Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.

Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

прямая лежит в плоскости;
прямая параллельна плоскости;
прямая пересекает плоскость.

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Пример 1

Вычислить, может ли точка М 0 с координатами - 2 , 3 , - 5 являться точкой пересечения прямой x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 с плоскостью x - 2 y - z + 3 = 0 .

Решение

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Представим координаты точки - 2 , 3 , - 5 и получим:

2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 · 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Так как получаем верные равенства, делаем вывод, что точка М 0 - точка пересечения заданной прямой с плоскостью.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Когда задается прямая a с плоскостью α прямоугольной системы координат, известно, что они пересекаются в точке М 0 . Для начала займемся поиском координат заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости, имеющего вид A x + B y + C z + D = 0 с прямой линией a , являющейся пересечением плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Данный способ задания прямой в пространстве рассматривается в статье уравнения прямой и уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Решение системы подразумевает обращение каждого тождества в верное равенство. Следует отметить, что при таком решении мы определяем координаты пересечения 3 плоскостей вида A x + B y + C z + D = 0 , A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Для закрепления материала рассмотрим решение данных задач.

Пример 2

Прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 , причем пересекает еще одну 3 x - z + 7 = 0 . Необходимо найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимые координаты получим при составлении и решении системы, имеющей вид x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0 .

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Возьмем систему уравнений вида x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 и произведем вычисления по определителю основной матрицы системы. Получаем, что

∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · 3 + 0 · 5 · 0 - 0 · 0 · 3 - 1 · 2 · 0 - (- 1) · 5 · (- 1) = - 11

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · (- 7) + 0 · (- 8) · 0 - - 0 · 0 · (- 7) - (- 3) · 2 · 0 - (- 1) · (- 8) · (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · (- 8) · 3 - 1 · 2 · (- 7) - (- 3) · 5 · (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 · 0 · (- 7) + (- 1) · (- 8) · 3 + (- 3) · 5 · 0 - - (- 3) · 0 · 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1

Отсюда следует, что координаты точки пересечения заданной прямой и плоскости имеет значение (- 2 , 1 , 1) .

Ответ: (- 2 , 1 , 1) .

Система уравнений вида A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 имеет одно единственное решение. Когда прямая a определена такими уравнениями, как A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а плоскость α задается уравнением A x + B y + C z + D = 0 , то они пересекаются. Когда прямая лежит в плоскости, система выдает бесконечное множество решений. При их параллельности уравнение решений не имеет, так как нет общих точек пересечения.

Пример 3

Найти точку пересечения прямой z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 и плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 .

Решение

Заданные уравнения необходимо преобразовать в систему z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0 . Когда она будет иметь единственное решение, то получим искомые координаты пересечения в точке. При условии, если нет решений, то они параллельны, либо прямая лежит в этой же плоскости.

Получим, что основная матрица системы – A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 , расширенная – T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1 . Нам необходимо определить ранг матрицы A и T методом Гаусса:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0

Тогда получим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Применим теорему Кронекера-Капелли, отсюда видно, что у системы есть бесконечное множество решений. Получим, что прямая z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 принадлежит плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 , что говорит об их невозможности пересечения и наличии общей точки.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Пример 4

Задано пересечение прямой x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 и плоскости x + 4 y - 7 z + 2 = 0 , найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимо собрать заданные уравнения в систему вида x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 . Для решения применяем метод Гаусса. С его помощью мы определим все имеющиеся решения коротким путем. Для этого запишем

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Делаем вывод, что прямая x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 с плоскостью x + 4 y - 7 z + 2 = 0 не имеют пересечений. Отсюда следует, что невозможно найти координаты точки, так как они не пересекаются.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Когда прямая имеет задана параметрическим или каноническим уравнением, то отсюда можно найти уравнение пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a , после чего искать необходимые координаты точки пересечений. Имеется еще один метод, который применяется для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Второй способ нахождения точки начинается с задания прямой a , пересекающей плоскость α в точке М 0 . Необходимо найти координаты заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости A x + B y + C z + D = 0 . Прямую а определяем параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Когда в уравнение A x + B y + C z + D = 0 производится подстановка x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , выражение примет вид уравнения с неизвестной λ . Необходимо разрешить его относительно λ , тогда получим λ = λ 0 , которое соответствует координатам точки, в которой они пересекаются. Вычисление координат точки производится из x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Пример 5

Найти координаты точки пересечения прямой x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ , λ ∈ R с плоскостью x + 4 y + z - 2 = 0 .

Решение

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

1 + 4 · λ + 4 · 7 - 7 · λ + 2 - 3 · λ - 2 = 0 ⇔ - 27 · λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой, используя параметрические уравнения, со значением λ = 1 .

x = - 1 + 4 · 1 y = 7 - 7 · 1 z = 2 - 3 · 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1

Ответ: (3 , 0 , - 1) .

Когда прямая вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R принадлежит плоскости A x + B y + C z + D = 0 , тогда необходимо подставить туда уравнение плоскости выражения x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , тогда получим тождество такого вида 0 ≡ 0 . При параллельности плоскости и прямой получаем неверное равенство, так как нет точек пересечения.

Если прямая задана каноническим уравнением, имеющим вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , тогда необходимо переходить от канонических к параметрическим при поиске координат точки пересечения прямой с плоскостью A x + B y + C z + D = 0 , то есть получим x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и применим необходимы способ для нахождения координат точки пересечения заданной прямой и плоскости в пространстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Здравствуйте друзья! Сегодня разбираем тему из начертательной геометрии – пересечение прямой линии с плоскостью и определение видимости прямой .

Задание берем из сборника Боголюбова, 1989 год, стр. 63, вар. 1. Нам требуется по заданным координатам построить комплексный чертеж треугольника ABC и прямой MN. Найти точку встречи (пересечения) прямой с непрозрачной плоскостью ABC.Определить видимые участки прямой.

Пересечение прямой линии с плоскостью

1. По координатам точек A, B и C строим комплексный чертеж треугольника и прямой NM. Начинаем чертить с горизонтальной проекции. Координаты точек проекции находим при помощи вспомогательных прямых.

2. Получаем вот такой комплексный чертеж.

3. Для определения координат точки пересечения прямой и плоскости выполним следующее.

a) Через прямую NM проводим вспомогательную плоскость Р, т.е. на фронтальной проекции проводим след плоскости Pv, на горизонтальную плоскость опускаем перпендикуляр Рн – горизонтальный след плоскости Р.

b) Находим фронтальную проекцию линии пересечения следа плоскости Р с треугольником АВС. Это отрезок d’e’. Горизонтальную проекцию находим по линиям связи до пересечения со сторонами ab (т. d) и ac (т. e) треугольника. Точки d и e соединяем.

c) Вместе пересечения de и nm будет находиться горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой линии с плоскостью k.

d) Проводим линию связи из k до пересечения с d’e’, получаем фронтальную проекцию точки k’.

e) по линиям связи находим профильную проекцию точки k’’.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости К найдены. Эта точка также называется точкой встречи прямой и плоскости.

Определение видимости прямой

Для определения видимости прямой воспользуемся методом конкурирующих точек.

Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки:

— точки: d’ принадлежащая a’b’ и e’ принадлежащая n’m’ (фронтально конкурирующие),

— точки: g принадлежащая bc и h принадлежащая nm (горизонтально конкурирующие),

— точки: l’’ принадлежащая b’’c’’ и p’’ принадлежащая n’’m’’ (профильно конкурирующие).

Из двух конкурирующих точек видимой будет та, высота которой будет больше. Граница видимости ограничена точкой К.

Для пары точек d’ и e’ видимость определяем так: опускаем перпендикуляр до пересечения с ab и nm на горизонтальной проекции, находим точки d и f. Видим, что координата по y для точки f больше, чем у d → точка f видима → видима прямая nm на участке f’k’, а на участке k’m’ невидима.

Аналогично рассуждаем и для пары точек g и h: на фронтальной проекции координата по z у точки h’ больше, чем у g’ → точка h’ видима, g’ – нет → прямая nm на отрезке hk видима, а на участке kn невидима.

И для пары точек l’’p’’: на фронтальной проекции координата по x больше у точки p’, а значит она закрывает собой точку l’’ на профильной проекции → р’’ видима, l’’ нет → отрезок прямой n’’k’’ видим, k’’m’’ невидим.

Дана прямая: (1) и плоскость: Ax + By + Cz + D = 0 (2).

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если прямая (1) и плоскость (2) пересекаются, то координаты точки пересечения удовлетворяют уравнениям (1) и (2):

, .

Подставляя найденное значение t в (1), получим координаты точки пересечения.

1) Если Am + Bn + Cp = 0, а Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, то и t не существует, т.е. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Они параллельны.

2) Am + Bn + Cp = 0 и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. В этом случае t может принимать любые значения и , т.е. прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, т.е. она лежит в плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3x – 3y + 2z – 5 = 0.

3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2·3t – 5 = 0 => -17=0, что невозможно ни при одном t, т.е. прямая и плоскость не пересекаются.

Пример 2. Найти точку пересечения прямой и плоскости: x + 2y – 4z + 1 = 0.

8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Это верно при любом значении t, т.е. прямая лежит в плоскости.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 3x – y + 2z – 5 = 0.

3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – точка пересечения прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Углом между прямой и плоскостью называется острый угол ц между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть заданы прямая и плоскость:

и .

Пусть прямая пересекает плоскость и образует с ней угол ц (). Тогда б = 90 0 – ц или б = 90 0 + ц – это угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Но . Значит

(3).

а) Если L P, то - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

б) Если L||P, то - условие параллельности прямой и плоскости.

в) Если прямая L||P и при этом точка M0(x0, y0, z0) P, то прямая лежит в данной плоскости. Аналитически:

- условия принадлежности прямой и плоскости.

Пример. Дана прямая и точка М 0 (1, 0, –2). Через точку М 0 провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Уравнение искомой плоскости ищем в виде: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. В данном случая , ,

5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.

Пучок плоскостей.

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.

Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:

Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.

1. Покажем, что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0 .

Пример 3 (Э). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + л(x – 2z) = 0; (3 + л)x – 2y + (1 – 2 л)z – 3 = 0; ; ; л = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0 .

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи ) через данную прямую;
2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Пример 1. На (фиг.250,а) даны плоскость δ (δ 1 ) и прямая АВ (А 1 В 1 и А 2 В 2 ); требуется определить точку их пересечения.

В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ - горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ , сливается с горизонтальной проекцией δ 1 .
Поэтому точка К 1 пересечения горизонтальной проекции А 1 В 1 прямой АВ с горизонтальной проекцией δ 1 есть горизонтальная проекция точки пересечения К ; фронтальная проекция К 2 определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А 2 В 2 .
Пример 2 . На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ с фронтально - проектирующей плоскостью δ .

Пример 1. Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).
Проводим через прямую АВ какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую плоскость δ (δ 1 ), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a по прямой NM (N 1 M 1 , N 2 М 2 ), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ) в точке С (С 1 С 2 ), что видно на (фиг.251,в). Точка С есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью а .

Пример 2. На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h .
Пример 3. Даны: треугольник ABC и прямая NM ; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).
Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ , тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N 1 M 1 прямой NM и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е 1 и F 1 (фиг.253,б). Отрезок Е 1 F 1 будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е 2 и F 2 , проводим через них прямую E 2 F 2 , которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Прямая E 2 F 2 пересекает прямую N 2 М 2 в точке К 2 . Точка К 2 будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN с прямой EF ; горизонтальную проекцию K 1 этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.
Точка К (K 1 , К 2 ) будет точкой пересечения данной прямой MN с данным треугольником ABC , как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN пересекается в ней с прямой EF , лежащей в плоскости треугольника ABC .

Упражнение 1
Построить комплексный чертеж треугольника ABC по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение
Упражнение 2
По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.
В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (