Распределение коши примеры. Коши распределение. Появление в практических задачах

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Распределение Коши

Плотность вероятности Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Обозначение	$\backslash mathrm\{C\}(x\_0,\backslash gamma)$
Параметры	$x\_0$ - коэффициент сдвига $\backslash gamma\; >\; 0$ - коэффициент масштаба
Носитель	$x\; \backslash in\; (-\backslash infty;\; +\backslash infty)$
Плотность вероятности	$\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\backslash gamma\backslash ,\backslash left\}$
Функция распределения	$\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash mathrm\{arctg\}\backslash left(\backslash frac\{x-x\_0\}\{\backslash gamma\}\backslash right)+\backslash frac\{1\}\{2\}$
Математическое ожидание	не существует
Медиана	$x\_0$
Мода	$x\_0$
Дисперсия	$+\backslash infty$
Коэффициент асимметрии	не существует
Коэффициент эксцесса	не существует
Дифференциальная энтропия	$\backslash ln(4\backslash ,\backslash pi\backslash ,\backslash gamma)$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	$\backslash exp(x\_0\backslash ,i\backslash ,t-\backslash gamma\backslash ,$

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью $f\_X(x)$, имеющей вид:

$f\_X(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\backslash gamma\; \backslash left\}\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; \}\; \backslash left[\; \{\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash gamma^2\; \}\; \backslash right]$,

• $x\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ - параметр сдвига;
• $\backslash gamma\; >\; 0$ - параметр масштаба.

Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Коши и пишут $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{C\}(x\_0,\backslash gamma)$. Если $x\_0\; =\; 0$ и $\backslash gamma\; =\; 1$, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

$F^\{-1\}\_X(x)\; =\; x\_0\; +\; \backslash gamma\backslash ,\backslash mathrm\{tg\}\backslash ,\backslash left[\backslash pi\backslash ,\backslash left(x-\{1\; \backslash over\; 2\}\backslash right)\backslash right].$

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования .

Моменты

$\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\backslash !x^\{\backslash alpha\}f\_X(x)\backslash ,\; dx$

не определён для $\backslash alpha\; \backslash geqslant\; 1$, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: $\backslash lim\backslash limits\_\{c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash int\backslash limits\_\{-c\}^\{c\}\; x\; \backslash cdot\; \{\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; \}\; \backslash left[\; \{\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash gamma^2\; \}\; \backslash right]\backslash ,\; dx\; =\; x\_0$), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

• Распределение Коши бесконечно делимо .
• Распределение Коши устойчиво . В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{C\}(0,1)$, то

$\backslash overline\{X\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{C\}(0,1)$

Связь с другими распределениями

• Если $U\; \backslash sim\; U$, то

$x\_0\; +\; \backslash gamma\backslash ,\backslash mathrm\{tg\}\backslash ,\backslash left[\backslash pi\backslash left(U-\{1\; \backslash over\; 2\}\backslash right)\backslash right]\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{C\}(x\_0,\backslash gamma)$.

• Если $X\_1,X\_2$ - независимые нормальные случайные величины, такие что $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{N\}(0,1),\backslash ;\; i=1,2$, то

$\backslash frac\{X\_1\}\{X\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{C\}(0,1)$.

• Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента :

$\backslash mathrm\{C\}(0,1)\; \backslash equiv\; \backslash mathrm\{t\}(1)$.

Появление в практических задачах

• Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (т.е. направление прямой изотропно на плоскости).
• В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
• Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.

	п Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное	Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | | Экспоненциальное | Variance-gamma	Многомерное нормальное | Копула

Напишите отзыв о статье "Распределение Коши"

Отрывок, характеризующий Распределение Коши

Ростов дал шпоры лошади, окликнул унтер офицера Федченку и еще двух гусар, приказал им ехать за собою и рысью поехал под гору по направлению к продолжавшимся крикам. Ростову и жутко и весело было ехать одному с тремя гусарами туда, в эту таинственную и опасную туманную даль, где никто не был прежде его. Багратион закричал ему с горы, чтобы он не ездил дальше ручья, но Ростов сделал вид, как будто не слыхал его слов, и, не останавливаясь, ехал дальше и дальше, беспрестанно обманываясь, принимая кусты за деревья и рытвины за людей и беспрестанно объясняя свои обманы. Спустившись рысью под гору, он уже не видал ни наших, ни неприятельских огней, но громче, яснее слышал крики французов. В лощине он увидал перед собой что то вроде реки, но когда он доехал до нее, он узнал проезженную дорогу. Выехав на дорогу, он придержал лошадь в нерешительности: ехать по ней, или пересечь ее и ехать по черному полю в гору. Ехать по светлевшей в тумане дороге было безопаснее, потому что скорее можно было рассмотреть людей. «Пошел за мной», проговорил он, пересек дорогу и стал подниматься галопом на гору, к тому месту, где с вечера стоял французский пикет.
– Ваше благородие, вот он! – проговорил сзади один из гусар.
И не успел еще Ростов разглядеть что то, вдруг зачерневшееся в тумане, как блеснул огонек, щелкнул выстрел, и пуля, как будто жалуясь на что то, зажужжала высоко в тумане и вылетела из слуха. Другое ружье не выстрелило, но блеснул огонек на полке. Ростов повернул лошадь и галопом поехал назад. Еще раздались в разных промежутках четыре выстрела, и на разные тоны запели пули где то в тумане. Ростов придержал лошадь, повеселевшую так же, как он, от выстрелов, и поехал шагом. «Ну ка еще, ну ка еще!» говорил в его душе какой то веселый голос. Но выстрелов больше не было.
Только подъезжая к Багратиону, Ростов опять пустил свою лошадь в галоп и, держа руку у козырька, подъехал к нему.
Долгоруков всё настаивал на своем мнении, что французы отступили и только для того, чтобы обмануть нас, разложили огни.
– Что же это доказывает? – говорил он в то время, как Ростов подъехал к ним. – Они могли отступить и оставить пикеты.
– Видно, еще не все ушли, князь, – сказал Багратион. – До завтрашнего утра, завтра всё узнаем.
– На горе пикет, ваше сиятельство, всё там же, где был с вечера, – доложил Ростов, нагибаясь вперед, держа руку у козырька и не в силах удержать улыбку веселья, вызванного в нем его поездкой и, главное, звуками пуль.
– Хорошо, хорошо, – сказал Багратион, – благодарю вас, г. офицер.
– Ваше сиятельство, – сказал Ростов, – позвольте вас просить.
– Что такое?
– Завтра эскадрон наш назначен в резервы; позвольте вас просить прикомандировать меня к 1 му эскадрону.
– Как фамилия?
– Граф Ростов.
– А, хорошо. Оставайся при мне ординарцем.
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».

Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l"empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.

Казалось бы, распределение Коши выглядит очень привлекательно для описания и моделирования случайных величин . Однако в действительности это не так. Свойства распределения Коши резко отличны от свойств распределения Гаусса , Лапласа и других экспоненциальных распределений.  

Дело в том, что распределение Коши близко к предельно пологому. Напомним, что распределение называется предельно пологим, если при х -> +оо его плотность вероятности  

Для распределения Коши не существует даже первого начального момента распределения , то есть математического ожидания , так как определяющий его интеграл расходится. При этом распределение имеет и медиану и моду, которые равны параметру а.  

Разумеется, дисперсия этого распределения (второй центральный момент) также равна бесконечности. На практике это означает, что оценка дисперсии по выборке из распределения Коши будет неограниченно возрастать с увеличением объема данных.  

Из вышесказанного следует, что аппроксимация распределением Коши случайных процессов , которые характеризуются конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией, неправомерна.  

Итак, мы получили симметричное распределение, зависящее от трех параметров, с помощью которого можно описывать выборки случайных величин, в том числе с пологими спадами. Однако, это распределение обладает недостатками, которые были рассмотрены при обсуждении распределения Коши, а именно, математическое ожидание существует только при а > 1, дисперсия конечна только при ОС > 2, и вообще, конечный момент распределения к-го порядка существует при а > k.  

На рисунке 14.1 использовано 8 000 выборок из известного распределения Коши, которое имеет бесконечное среднее и дисперсию. Распределение Коши более подробно описывается ниже. Используемый здесь ряд был "нормализован" путем вычитания среднего и деления на выборочное стандартное отклонение . Таким образом, все единицы выражены в стандартных отклонениях . Для сравнения мы используем 8 000 гауссовых случайных переменных , которые были нормализованы аналогичным образом. Важно понять, что два последующих шага всегда будут заканчиваться в среднем 0 и стандартном отклонении 1, потому что они были нормализованы к этим значениям. Конвергенция означает, что временной ряд быстро идет к устойчивому значению.  

Эти два известных распределения, распределение Коши и нормальное распределение , имеют много применений. Они также являются единственными двумя членами семейства устойчивых распределений , для которых могут быть явно выведены функции плотности вероятностей . Во всех других дробных случаях они должны быть оценены, обычно посредством численных средств. Мы обсудим один из этих методов в одном из последующих разделов этой главы.  

В Главе 14 мы исследовали последовательное стандартное отклонение и среднее значение американской фондовой биржи и сравнили его с временным рядом , полученным из распределения Коши. Мы сделали это, чтобы увидеть влияние бесконечных дисперсии и среднего на временной ряд. Последовательное стандартное отклонение - стандартное отклонение временного ряда , когда мы за раз прибавляем  

Сделайте первое приближение Z к u(o,F), взяв взвешенное среднее значение F квантилей распределений Коши и гауссовых распределений.  

Таблица А3.2 преобразовывает результаты Таблицы А3.1 в квантили. Чтобы узнать, какое значение F объясняет 99 процентов наблюдений для а= 1,0, опуститесь по столбцу F влево к 0,99 и поперек к значению и=31,82. Распределение Коши требует наблюдений 31,82 значений с от среднего, чтобы охватить 99 процентов вероятности. Напротив, нормальный случай достигает 99-процентного уровня при и=3,29. Это отличается от стандартного нормального случая, который составляет 2,326 стандартных отклонений , а не 3,29 единиц с.  

Р(> (птг)1/2Г(п/2) п При п = 1 соответствующее распределение называют распределением Коши.  

Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным . В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, Е(Х) зависит от t.  

В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины Х, . .., Х взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).  

Коша два или более факторов, например трудовые и материальные активы, участвуют в процессе производства товаров и оказании услуг, а также в последующем формировании денежных поступлений, логичное распределение последних по факторам представляется в целом невозможным. Предполагалось приводить в соответствие активам, которые могли быть использованы, чистые предельные поступления, но сумма частных предельных поступлений может оказаться выше совокупных чистых поступлений от реализации продукции и оказания услуг.  

Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности , частными случаями которой были нормальные распределения , так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы . Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала , что мы должны их исследовать. Кроме того, было обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны.  

На рисунке 14.2(а) показано последовательное стандартное отклонение для тех ке двух рядов. Последовательное стандартное отклонение , подобно последовательному реднему, является вычислением стандартного отклонения , по мере того как по одному добавляются наблюдения. В этом случае разница еще более поразительна. Случайный эяд быстро сходится к стандартному отклонению 1. Распределение Коши, напротив, никогда не сходится. Вместо этого оно характеризуется несколькими большими прерывистыми скачками и большими отклонениями от нормализованного значения 1.  

Это логарифм характеристической функции для распределения Коши, которое, как известно, имеет бесконечную дисперсию и среднее. В этом случае 8 становится медианой распределения, а с - семи-интерквартильным размахом.  

Холт и Кроу (Holt and row, 1973) нашли функцию плотности вероятностей для а = 0,25 - 2,00 и Р равного от -1,00 до +1,00, оба в приращениях 0,25. Используемая ими методология интерполировала между известными распределениями, типа распределений Коши и нормальных распределений , и интегрального представления из работы Золотарева (Zolotarev, 1964/1966). Таблицы, подготовленные для бывшего  

Как мы говорили в Главе 14, явные выражения для устойчивых распределений существуют только для частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Однако Бергстром (Bergstrom, 1952) разработал разложение в ряд, которое Фамэ и Ролл использовали для приближения плотностей для многих значений альфы. Когда a > 1.0, они могли использовать результаты Бергстрома для выведения следующего сходящегося ряда  

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение вероятностей случайной величины Х, имеющее плотность

где - ∞ < μ < ∞ и λ>0 - параметры. Коши распределение унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся модой и медианой этого распределения [на рисунке а и б изображены графики плотности р(х; λ, μ) и соответствующей функции распределения F (х; λ, μ) при μ =1,5 и λ = 1]. Математическое ожидание Коши распределения не существует. Характеристическая функция Коши распределения равна e iμt - λ|t| , - ∞ < t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Если независимые случайные величины Х 1 ,...,Х n имеют одно и то же Коши распределение, то их арифметическое среднее (Х 1 + ... + X n)/n для любого n = 1,2, ... имеет то же самое распределение; этот факт был установлен С. Пуассоном (1830). Коши распределение является устойчивым распределением. Отношение X/Y независимых случайных величин Х и Y со стандартным нормальным распределением имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Распределение тангенса tg Z случайной величины Z, с равномерным распределением на отрезке [-π/2, π/2], также имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Коши распределение рассматривалось О. Коши (1853).