Определитель произведения квадратных матриц доказательство. Определители квадратных матриц. Теорема о существовании обратной матрицы

.
Лекция 6
4.6 Определитель произведения двух квадратных матриц.

Произведение двух квадратных матриц n -го порядка всегда определено. При этом важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц сомножителей:

Доказательство. Пусть

и
,

Составим вспомогательный определитель

По следствию теоремы Лапласа имеем:

Итак,
, покажем, что
. Для этого преобразуем определитель следующим образом. Сначала первые п
, прибавим к
-му столбцу. Затем первые п столбцов, умноженных соответственно на
, прибавим к
-му столбцу и т.д. На последнем шаге к
-му столбцу будут прибавлены первые п столбцов, умноженных соответственно на
. В результате получим определитель

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:

Итак, доказаны равенства и , из которых следует, что .
4.7.Обратная матрица

Определение 1 . Пусть дана квадратная матрица А п -го порядка. Квадратную матрицу
того же порядка называют обратной к матрице А , если , где Е -единичная матрица п -го порядка.

Утверждение. Если существует матрица, обратная к матрице А , то такая матрица единственная.

Доказательство. Допустим, что матрица является не единственной матрицей, обратной к матрице А . Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия

Рассмотрим произведение
. Для него имеют место равенства

из которых вытекает, что
. Тем самым единственность обратной матрицы доказана.

При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие «присоединенная матрица».

Определение 2 . Пусть дана матрица

элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А , называется присоединенной матрицей к матрице А .

Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Определение 3. Квадратная матрица А называется невырожденной , если
.

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица определяется формулой

, (1)

где - алгебраические дополнения элементов матрицы А .

Доказательство. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители и
. Эти определители связаны соотношением
. Матрицы А и невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.

Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение

матрицы А С .

По правилу умножения матриц элемент произведения
матриц А и С имеет вид: . Так как сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j - й строки равна нулю при
и определителю при
. Следовательно,

где Е – единичная матрица п -го порядка. Аналогично доказывается равенство
. Таким образом,
, а это означает, что
и матрица
является обратной к матрице А . Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).

Следствие 1 . Определители матриц А и связаны соотношением .

Следствие 2 . Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается

равенствами
.

Следствие 3 . Определитель невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы

С связаны равенством
.

Следствие 3 вытекает из равенства
и свойства определителей, согласно которому при умножении на п- ю степень этого числа. В данном случае

откуда следует, что .

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице А :

Решение. Определитель матрицы

отличен от нуля. Поэтому матрица А имеет обратную. Чтобы ее найти, сначала вычислим алгебраические дополнения:

,
,
,

,
.

Теперь по формуле (1) запишем обратную матрицу

.
4.8. Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.

Определение 1. Под элементарными преобразованиями над матрицей размера

понимают следующие действия.

Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.
Прибавление к любой i -й строке матрицы любой ее j - й строки, умноженной на произвольное число.
Прибавление к любому i -му столбцу матрицы любого ее j - го столбца, умноженного на произвольное число.
Перестановка строк (столбцов) матрицы.

Определение 2. Матрицы А и В будем называть эквивалентными , если одна из них может быть преобразована в другую с помощью элементарных преобразований. Будем писать

Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами :

Определение 3 . Ступенчатой называется матрица А обладающая следующими свойствами:

1) если i -я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то
-я строка также нулевая;

2) если первые ненулевые элементы i -й и -й строк располагаются в столбцах с номерами k и l , то
.

Пример. Матрицы

являются ступенчатыми, а матрица

ступенчатой не является.

Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.

Алгоритм Гаусса . Рассмотрим матрицу А размера . Без ограничения общности можем считать, что
. (Если в матрице А имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А первую, умноженную на
, к третьей строке – первую, умноженную на
и т.д.

В результате получим, что

Элементы в последних
строках определяются формулами:

,
,
.

Рассмотрим матрицу

Если все элементы матрицы равны нулю, то

и эквивалентная матрица ступенчатая. Если среди элементов матрицы хотя бы один отличен от нуля, то можно без ограничения общности можно считать, что
(этого можно добиться перестановкой строк и столбцов матрицы ). Преобразуя в этом случае матрицу так же как матрицу А , получим

соответственно,

Здесь
,
,
.

причем , , … ,
. В матрице А т строк и чтобы привести ее к А r , отличный от нуля, а все миноры порядка выше r равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом
.

Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров .

Пример. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

Решение.

Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого

количества определителей.

Утверждение. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.

Сформулированное утверждение указывает второй способ вычисления ранга матрицы. Он называется методом элементарных преобразований . Для отыскания ранга матрицы нужно методом Гаусса привести ее к ступенчатому виду, а затем выделить максимальный ненулевой минор. Поясним это на примере.

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц:

5. Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.

7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.

9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.

10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.

20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.

21. Решение совместной системы линейных уравнений.

22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.

24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.

25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.

26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.

28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.

29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.

30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.

33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления(без доказательства).

34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности(неизменности) порядка.

35. Общие уравнения плоскости и прямой.

36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).

38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости(в пространстве), канонические уравнения прямой.

39. Векторные уравнения прямой и плоскости.

40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.

42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.

44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.

45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.

45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

47.Определение линейного пространства. Примеры.

49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.

50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

Теорема:

Доказательство: Пусть заданы квадратные матрицы порядка n.
и
. На основании теоремы об определителе квазитреугольной матрицы (
) имеем:
порядок данной матрицы 2n. Не изменяя определителя, над матрицей порядка 2n выполним последовательно следующие преобразования: к первой строке прибавим . В результате такого преобразования на первыхn позициях первой строки будут все 0, а на вторых(во втором блоке) – будет стоять сумма произведений первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В. Проделав те же самые преобразования с 2 … n строками получим следующее равенство:

Чтобы привести правый определитель к квазитреугольному виду поменяем в нем местами 1 и 1+ n столбцы, 2 и 2+ n … n и 2 n столбцы. В результате получим равенство:

Замечание: Ясно что теорема справедлива для любого конечного числа матриц. В частности
.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

Определение: Если
матрица называется не невырожденной (неособенной). Если
то матрица называется вырожденной (особенной).

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу А. Из алгебраических дополнений элементов этой матрицы составим матрицу и транспонируем её. Получим матрицу С:
матрица С называется присоединенной по отношению к матрице А. Вычислив произведение А*С и В*С получим
Следовательно
, таким образом
если
.

Таким образом из неособенности матрицы А следует существование А -1 . С другой стороны если А имеет А -1 то матричное уравнение АХ=Е разрешимо. Следовательно
и. Объединяя полученные результаты получим утверждение:

Теорема: У квадратной матрицы над полем Р существует обратная тогда и только тогда когда она не особенная. Если обратная матрица существует то она находится по формуле:
, где С присоединенная матрица.

Замечание:

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

Определение: Миноромk-того порядка матрицы А называется определительk-того порядка с элементами, лежащими на пересечении любыхkстрок и любыхkстолбцов.

Определение: Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличный от 0 миноров этой матрицы. Обозначаетсяr(A). Ясно 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.

Определение: Всякий отличный от 0 минор матрицы порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором этой матрицы. Ясно что матрица может иметь несколько базовых миноров. Столбцы и строки которые образуют базовые миноры называются базисными.

Теорема: В производной матрице А=(а i) m , n каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов в которых расположен базисный минор(то же самое о строках).

Доказательство: Пусть r(A)=r. Выберем из матрицы один базисный минор. Для простоты предположим, что базовый минор расположен в левом верхнем углу матрицы, т.е. на первых r строках и первых r столбцах. Тогда базовый минор Mr будет иметь вид:
. Нам нужно доказать что всякий столбец матрицы А является линейной комбинацией первыхr столбцов этой матрицы, в которых расположен базисный минор, т.е. надо доказать что существуют числа λ j такие, что для любого k-того столбца матрицы А имеет место равенство: где
…
.

Припишем к базисному минору какие-нибудь k-тый столбец и s-тую строку:
т.к. если добавленная строка или

столбец входят в число базисных то определитель
, как определитель с двумя одинаковыми строками(столбцами). Если добавлена строка(столбец) то
согласно определению ранга матрицы. Разложим определитель
по элементам нижней строки, получим:отсюда получаем:
где λ 1 … λ r не зависят от номера S, т.к. А Sj не зависят от элементов добавленной S-той строки. Равенство (1) и есть нужное нам равенство.(ч.т.д.)

Следствие: Если А квадратная матрица, а определительA=0 ,то один из столбцов матрицы есть линейная комбинация оставшихся столбцов, а так же одна из строк является линейная комбинация оставшихся строк.

Доказательство: Если определитель матрицыA=0, то ранг этой матрицы <=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).

Для того чтобы [A] =0 необходимо и достаточно чтобы по крайней мере одна строка (столбец) являлись линейной комбинацией остальных её строк (столбцов).

Теорема. Пусть А и В - две квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель их произведения равен произведению определителей, т.е.

| AB | = | A| | B |.

¢ Пусть A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Рассмотрим определитель d 2 n порядка 2n

d 2n = | A | | B | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B |.

Если мы покажем, что определитель d 2 n равен определителю матрицы С=АВ, то теорема будет доказана.

В d 2 n проделаем следующие преобразования: к 1 строке прибавим (n+1) строку, умноженную на а 11 ; (n+2) строку, умноженную на а 12 и т.д. (2n) строку, умноженную на а 1 n . В полученном определителе первые n элементов первой строки будут нулями, а n других элементов станут такими:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

Аналогично получаем нули во 2, …, n строках определителя d 2 n , причем последние n элементов в каждой из этих строк станут соответствующими элементами матрицы С. В результате, определитель d 2 n преобразуется в равный ему определитель:

d 2n = | C | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Следствие. Определитель произведения конечного числа квадратных матриц равен произведению их определителей.

¢ Доказательство проводится индукцией: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме. £

Обратная матрица.

Пусть A = (a ij) n x n квадратная матрица над полем Р.

Определение 1. Матрицу А будем называть вырожденной, если ее определитель равен 0. Матрицу А будем называть невырожденной в противном случае.

Определение 2. Пусть А Î P n . Матрицу В Î P n будем называть обратной к А, если АВ = ВА=Е.

Теорема (критерий обратимости матрицы). Матрица А обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

¢ Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА -1 = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A -1 | = | E | или | A | | A -1 | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Пусть, обратно, | A | ¹ 0. Надо показать, что существует матрица В такая, что АВ = ВА = Е. В качестве В возьмем такую матрицу:

где А ij - алгебраическое дополнение к элементу а ij . Тогда

Следует заметить, что в результате получится единичная матрица (достаточно воспользоваться следствиями 1 и 2 из теоремы Лапласа § 6), т.е. АВ = Е. Аналогично показывается, что ВА = Е. £

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу, или доказать, что ее нет.

det A = -3 обратная матрица существует. Теперь считаем алгебраические дополнения.

А 11 = -3 А 21 = 0 А 31 = 6

А 12 = 0 А 22 = 0 А 32 =-3

А 13 = 1 А 23 = -1 А 33 = -1

Итак, обратная матрица имеет вид: В = =

Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы А.

1. Вычисляем det A.

2. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен 0, считаем алгебраические дополнения.

3. Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.

4. Все элементы получившейся матрицы делим на det A.

Упражнение 1. Выяснить, однозначна ли обратная матрица.

Упражнение 2. Пусть элементы матрицы А - целые рациональные числа. Будут ли элементы обратной матрицы целыми рациональными числами?

Системы линейных уравнений.

Определение 1. Уравнение вида a 1 x 1 + ....+a n x n =b , где a, ... ,a n - числа; x 1 , ... ,x n - неизвестные, называется линейным уравнением с n неизвестными.

s уравнений с n неизвестными называется системой s линейных уравнений с n неизвестными, т.е.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).

Если к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы (1).

X = - столбец неизвестных.

Столбец свободных членов.

В матричном виде система имеет вид: AX=B (2).

Решением системы (1) называют упорядоченный набор n чисел (α 1 ,…, α n) таких, что если сделаем подстановку в (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , то мы получим числовые тождества.

Определение 2. Систему (1) называют совместной, если она имеет решения, и несовместной в противном случае.

Определение 3. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Существует универсальный способ решения системы (1) - метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных), см. , стр.15.

Рассмотрим более подробно случай, когда s = n . Существует метод Крамера решения таких систем.

Пусть d = det ,

d j - определитель d, в котором j–тый столбец заменен столбцом свободных членов.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы d ¹ 0, тогда система имеет единственное решение, получающееся по формулам:

x 1 = d 1 / d …x n = d n / d

¢Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

и рассмотрим уравнение AX = B (2) с неизвестной матрицей-столбцом X. Так как A, X, B - матрицы размеров n x n, n x 1, n x 1 соответственно, то произведение прямоугольных матриц АХ определено и имеет те же размеры, что и матрица В. Таким образом, уравнение (2) имеет смысл.

Связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что является решением данной системы тогда и только тогда, когда

столбец есть решение уравнения (2).

Действительно, это утверждение означает выполнение равенства

Так как ,

где А ij - алгебраическое дополнение элемента a ij в определителе d, то

= ,

откуда (4).

В равенстве (4) в скобках написано разложение по элементам j-го столбца определителя d j , который получается из определителя d после замены в нем

j-го столбца столбцом свободных членов. Поэтому, x j = d j / d. £

Следствие. Если однородная система n линейных уравнений от n неизвестных имеет ненулевое решение, то определитель этой системы равен нулю.

ТЕМА 3. Многочлены от одной переменной.

Определитель матрицы обозначается. Другими словами определитель матрицы -это сумма произведений из множества умноженная на знак, соответствующей подстановки.

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали вычесть произведение элементов на побочной.

Получили правило треугольника:

Простейшие свойства определителей

Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали

Это треугольная матрица если элементы под главной диагональю равны нулю.

Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Матрица диагональная если все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

Основные свойства определителей

поле скаляров,

Доказательство:

обозначим. Если «пробегает» все множество, то тоже «пробегает» все т.е.

При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель изменит знак.

Доказательство:

I) Перестановка столбцов:

Пусть - это матрица, полученная из перестановкой двух столбцов с номерами, где. Рассмотрим транспозицию:

Транспозиция является нечетной подстановкой,

В доказательстве будем использовать равенство:

Если пробегает все множество значений, то тоже пробегает все значения и

II) Перестановка строк

Пусть получена из перестановкой двух строк, тогда получена из перестановкой двух столбцов, тогда

III) Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равных нулю

Доказательство:

Проведем для такого поля, где

Замечание

Доказательство для случая найди в учебнике Куликовой Алгебра и теория чисел

Пусть в есть две одинаковые строки с номерами и, где, поменяем местами строки и, получим матрицу

Если у два одинаковых столбца, то у транспонированной матрицы две одинаковые строки

IV) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на, то определитель умножиться на

Доказательство:

Пусть получена из умножением на строки

так как, то

Аналогичное доказательство для столбцов

V) Определитель матрицы у которой две строки (столбца) пропорциональны равны нулю

Доказательство:

Пусть в матрице, строки пропорциональны т.е. -строка равна произведению на -строку. Пусть

Для столбцов:

Пусть получена из, . Столбцы и пропорциональны и

VI) Если каждый элемент -строки(столбца) квадратной матрицы есть сумма двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей. В матрице первого определителя в - строке (столбце), записаны первые слагаемые, а в матрице второго определителя вторые слагаемые. Остальные элементы матриц этих определителей такие же как у матрицы

Доказательство:

VII) Ели к какой либо строке (столбцу) матрице определителя прибавить другую строку (столбец), умноженный на, то определитель не изменится.

Доказательство:

Для столбцов аналогично.

VIII) Если какая либо строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов) , то определитель

Доказательство:

Если какая то строка линейная комбинация других строк, то к ней можно прибавить другие строки, умноженные на скаляры так, чтобы получилась нулевая строка. Определитель такой матрицы равен нулю.

(сначала умножаем первую строку на -2 и складываем со второй, затем на -3 и складываем с третей). Такое правило приведения к треугольному виду используется для определителей - порядка:

так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то часто бывает важно иметь возможность выразить определитель произведения в терминах свойств множителей. Следующая теорема - мощный показатель этого.

Миноры и алгебраические дополнения.

Теоремы об определителях.

поле скаляров,

Опр. Минор элемента определителя порядка - определитель порядка, полученный из вычеркиванием -строки и -столбца.

Главные миноры определителя

Для главные миноры есть определители

Рассмотрим матрицу и вычислим ее миноры

Определение. Алгебраическим дополнением элемента обозначается называется число

Пример: Вычислим,

Доказательство:

(в сумме только те слагаемые ненулевые, где)

Тогда подстановка имеет вид: , где. К подстановке поставим в соответствие т.е.

Такое соответствие называется взаимооднозначным отображением множества подстановок на множество подстановок, . Очевидно, что и имеют одинаковые инверсии, значит имеют одинаковую четность и знаки

Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы за исключением быть может одного элемента, то определитель матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение

Доказательство:

Пусть все элементы -строки матрицы за исключением элемента

перестановкой строк и столбцов переместили элемент в правый нижний угол, значит строк и -столбцов. Знак будет меняться раз, после этого получиться матрица у которой все элементы последней строки кроме может быть равны нулю. По Лемме 1 , т.к.

Теорема Лагранжа

равна сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы на их алгебраическое дополнение. Другими словами: разложение по -столбцу матрицы имеет вид: , а разложение по -строке матрицы:

Доказательство:

рассмотрим -столбец матрицы и запишем в виде: , по 6 свойству определителей:

определитель матрица лагранж математический

аналогично доказывается формула разложение по -строке матрицы.

Теорема 2

Справедливы равенства:

Рассмотрим матрицу, которая получена из матрицы следующим образом: все столбцы матрицы, кроме -го такие же как и у матрицы. -тый столбец матрицы совпадает с -столбцом, тогда у два одинаковых столбца, поэтому определитель матрицы равен нулю, разложим определитель матрицы по -тому столбцу.

Тогда. Формула (2) показывается аналогично.

Следствие:

Определитель произведение матриц

поле скаляров,

Пусть элементарная матрица порядка, тогда справедливо равенство:

1) ., т.е. получена из матрицы, умножением -строки на скаляр. Определитель матрицы.

Матрица получена из умножением -строки на скаляр, поэтому определитель

Матрица, полученная из прибавлением к -строке

-элементарные матрицы
1) , доказательство следует из Леммы 1

2) , доказательство из утверждения (1) при условии

Теорема 1

Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей т.е.

Доказательство:

Пусть строки матрицы линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований

тогда по Лемме 2 следует, что. Из того, что () имеем: , тогда

2) Строки линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований, которая переводит в ступенчатую матрицу, у которой есть нулевая строка т.е. , . Тогда

Из того, что, в произведении, тоже есть нулевая строка, потому

Необходимые и достаточные условия равенства определителя нулю

поле скаляров, - матрица над полем

Теорема 1

строки (столбцы) матрицы линейно зависимы

Достаточность:

Если строки (столбцы) матрицы линейно зависимы, то какая-то строка является линейной комбинацией других строк (по 8 свойсву определителей)

Необходимость:

Пусть. Докажем, что строки линейно зависимы. Предположим, что строки линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований переводящее. Из доказанного в пункте II следует, что. Получили противоречье. Докажем, что если -строка матрицы линейно зависима, но (числа векторов столбца) линейно зависима.

Теорема 2

следующие условия равносильны:

2) -линейно зависимы
3) -обратима
4) представима в виде произведения элементарных матриц

Доказательство:

доказано в Теореме 1

Разбиение матриц

Если матрицу, матрицу, матрицу и матрицу записать в виде

То они, образуют некоторую матрицу. В таком случае могут быть названы блоками матрицы. И обозначены соответственно. Представление (1) называется разбиением матрицы.

Если матричное произведение существует и, разбиты на блоки, а разбиение по столбцам матрицы соответствует разбиению по строкам матрицы, то можно ожидать, что имеет блоки, задаваемые формулой

Таким образом, мы предполагаем, что произведение матриц в терминах блоков, полученных при соответствующих разбиениях сомножителей, формально совпадает с произведением этих матриц в терминах скалярных элементов. Покажем это на примере:

Упражнение1. Пусть

Это проверяется прямым вычислением

Теорема (1)

Пусть матрица из имеет блоки, где матрица, и матрица из с блоками размера. Тогда имеет блоки

Доказательство. Отметим, что каждое произведение существует и является матрицей. Следовательно, существует и будет матрицей. Для фиксированного каждое имеет столбцов и для фиксированного каждое имеет строк, откуда следует, что блоки некоторой матрицы.

Пусть некоторый элемент матрицы, расположенный в клетке блока. Так как, есть сумма элементов в клетках и матриц, . Но элемент матрицы в клетке является суммой произведений элементов в строке матрицы на элементы столбца матрицы. Далее, элементы строки матрицы совпадают с некоторыми элементами строки в, а именно, с, где индекс определяется неравенствами

Элементы столбца матрицы будут элементами в. Следовательно,

Мы определили миноры порядка для определителя. В общем случае, если из -матрицы выбросить все строки, кроме строк, и все столбцы, кроме столбцов, то определитель полученной в результате матрицы называется минором матрицы порядка, то

Миноры, для которых, называются главными для матрицы. Если - матрица, то и алгебраическое дополнение, например, есть

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то иногда важно выразить определитель произведения в терминах свойств сомножителей. Следующая теорема - мощный результат этого рода.

Лекция 6

4.6 Определитель произведения двух квадратных матриц.

Теорема. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц сомножителей:

Доказательство. Пусть

и
,

Составим вспомогательный определитель

По следствию теоремы Лапласа имеем:

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:

Итак, доказаны равенства
и
, из которых следует, что
.

4.7.Обратная матрица

Утверждение. Если существует матрица, обратная к матрице А , то такая матрица единственная.

Доказательство. Допустим, что матрица
является не единственной матрицей, обратной к матрице А . Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия

Рассмотрим произведение
. Для него имеют место равенства

из которых вытекает, что
. Тем самым единственность обратной матрицы доказана.

Определение 2 . Пусть дана матрица

Определение 3. Квадратная матрица А называется невырожденной , если
.

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу
, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица
определяется формулой

, (1)

где - алгебраические дополнения элементов матрицы А .

Доказательство. Пусть матрица А имеет обратную матрицу
. Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители
и
. Эти определители связаны соотношением
. Матрицы А и
невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.

Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу
и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение

матрицы А и присоединенной к ней матрицы С .

где Е – единичная матрица п -го порядка. Аналогично доказывается равенство
. Таким образом,

, а это означает, что
и матрица является обратной к матрице А . Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).

Следствие 1 . Определители матриц А и
связаны соотношением
.

Следствие 2 . Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается

равенствами
.

Следствие 3 . Определитель невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы

С связаны равенством
.

откуда следует, что
.

Пример. А :

Решение. Определитель матрицы

,
,
,

,
.

Теперь по формуле (1) запишем обратную матрицу

4.8. Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.

Определение 1. Под элементарными преобразованиями над матрицей размера

понимают следующие действия.

Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.

Прибавление к любой i -й строке матрицы любой ее j - й строки, умноженной на произвольное число.

Прибавление к любому i -му столбцу матрицы любого ее j - го столбца, умноженного на произвольное число.

Перестановка строк (столбцов) матрицы.

Определение 2. Матрицы А и В будем называть эквивалентными , если одна из них может быть преобразована в другую с помощью элементарных преобразований. Будем писать
.

Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами :

Определение 3 . Ступенчатой называется матрица А обладающая следующими свойствами:

1) если i -я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то
-я строка также нулевая;

2) если первые ненулевые элементы i -й и
-й строк располагаются в столбцах с номерами k и l , то
.

Пример. Матрицы

являются ступенчатыми, а матрица

ступенчатой не является.

Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.

Алгоритм Гаусса . Рассмотрим матрицу А размера
. Без ограничения общности можем считать, что
. (Если в матрице А имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А первую, умноженную на , к третьей строке – первую, умноженную на и т.д.

В результате получим, что

Элементы в последних
строках определяются формулами:

,
,
.

Рассмотрим матрицу

Если все элементы матрицы равны нулю, то

соответственно,

Здесь
,
,
.

причем
,
, … ,
. В матрице А т строк и чтобы привести ее к ступенчатому виду указанным способом, понадобится не более т шагов. Далее процесс может оборваться на k -ом шаге в том и только в том случае, если все элементы матрицы

равны нулю. В этом случае

причем
,
, … ,
.

4.9. Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Для матрицы больших размеров отыскание обратной матрицы удобно проводить с помощью элементарных преобразований над матрицами. Этот метод состоит в следующем. Выписывают составную матрицу
и по схеме метода Гаусса выполняют над строками этой матрицы (т.е. одновременно и в матрице А и в матрице Е ) элементарные преобразования. В результате матрица А преобразуется в единичную матрицу, а матрица Е – в матрицу
.

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение. Запишем составную матрицу
и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований строк в соответствии с методом Гаусса. В результате получим:

Из этих преобразований заключаем, что

4.10 Ранг матрицы.

Определение. Целое число r называется рангом матрицы А , если у нее имеется минор порядка r , отличный от нуля, а все миноры порядка выше r равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом
.

Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров .

Пример. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы

Решение.

Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого

количества определителей.

Утверждение. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц.