В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

• специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
• еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
• моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

• по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
• по динамике (статические и динамические);
• по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
• по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

1. Питание должно быть полезным.
2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

• модель динамики численности микроорганизмов;
• модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

• через пять дней женская особь откладывает яйца;
• через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность	Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта
Адекватность	Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели
Точность	Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта
Экономичность	Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих части модели.
2. Исследование математических задач.
3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

• формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
• максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

• задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
• задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

• таблицы;
• блок-схемы;
• диаграммы;
• графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

• 8 рыб - обитатели северных морей;
• 20% улова - обитатели южных морей;
• из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x 1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r 0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 . Подставляя в выражение для r 0 и h 0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.

Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x 4 .

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) - исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) - количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N"(t) пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l N(t), l >0 - константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e –l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:

1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » a n + b,

где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.

вектор выходных переменных, Y= t ,

Z - вектор внешних воздействий, Z= t ,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель . Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

1. аналитические;
2. имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей .

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи ( интерполяция , экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование ),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование .

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями , имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

1. детерминированные,
2. стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра .

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

1. непрерывные,
2. дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

1. статические,
2. динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

По степени соответствия между

Представь себе самолет: крылья, фюзеляж, хвостовое оперение, все это вместе - настоящий огромный, необъятный, целый самолет. А можно сделать модель самолета, маленькую, но все как взаправду, те же крылья и т.д., но компактный. Так же и математическая модель. Есть текстовая задача, громоздкая, на нее можно так посмотреть, прочесть, но не совсем понять, и уж тем более не ясно как решать ее. А что если сделать из большой словесной задачи ее маленькую модель, математическую модель? Что значит математическую? Значит, используя правила и законы математической записи, переделать текст в логически верное представление при помощи цифр и арифметических знаков. Итак, математическая модель - это представление реальной ситуации с помощью математического языка.

Начнем с простого: Число больше числа на. Нам нужно записать это, не используя слов, а только язык математики. Если больше на, то получается, что если мы из вычтем, то останется та самая разность этих чисел равная. Т.е. или. Суть понял?

Теперь посложнее, сейчас будет текст, который ты должен попробовать представить в виде математической модели, пока не читай, как это сделаю я, попробуй сам! Есть четыре числа: , и. Произведение и больше произведения и в два раза.

Что получилось?

В виде математической модели выглядеть это будет так:

Т.е. произведение относится к как два к одному, но это можно еще упросить:

Ну ладно, на простых примерах ты понял суть, я так полагаю. Переходим к полноценным задачам, в которых эти математические модели еще и решать нужно! Вот задача.

Математическая модель на практике

Задача 1

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле, где — расстояние в метрах, — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с? Ответ выразите в метрах.

О, ужас! Какие формулы, что за колодец, что происходит, что делать? Я прочел твои мысли? Расслабься, в задачах этого типа условия бывают и пострашнее, главное помнить, что тебя в этой задаче интересуют формулы и отношения между переменными, а что все это обозначает в большинстве случаев не очень важно. Что ты тут видишь полезного? Я лично вижу. Принцип решения этих задач следующий: берешь все известные величины и подставляешь. НО, задумываться иногда надо!

Последовав моему первому совету, и,подставив все известные в уравнение, получим:

Это я подставил время секунды, и нашел высоту, которую пролетал камень до дождя. А теперь надо посчитать после дождя и найти разницу!

Теперь прислушайся ко второму совету и задумайся, в вопросе уточняется, «на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с». Сразу надо прикинуть, тааак, после дождя уровень воды повышается, значит, время падения камня до уровня воды меньше и тут витиеватая фраза «чтобы измеряемое время изменилось» приобретает конкретный смысл: время падения не увеличивается, а сокращается на указанные секунды. Это означает, что в случае броска после дождя, нам просто нужно из начального времени c вычесть с, и получим уравнение высоты, которую камень пролетит после дождя:

Ну и наконец, чтобы найти, на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с., нужно просто вычесть из первой высоты падения вторую!

Получим ответ: на метра.

Как видишь, ничего сложного нет, главное, особо не заморачивайся, откуда такое непонятное и порой сложное уравнение в условиях взялось и что все в нем означает, поверь на слово, большинство этих уравнений взяты из физики, а там дебри похлеще, чем в алгебре. Мне иногда кажется, что эти задачи придуманы, чтоб запугать ученика на ЕГЭ обилием сложных формул и терминов, а в большинстве случаев не требуют почти никаких знаний. Просто внимательно читай условие и подставляй известные величины в формулу!

Вот еще задача, уже не по физике, а из мира экономической теории, хотя знаний наук кроме математики тут опять не требуется.

Задача 2

Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаётся формулой

Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле. Определите наибольшую цену, при которой месячная выручка составит не менее тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Угадай, что сейчас сделаю? Ага, начну подставлять то, что нам известно, но, опять же, немного подумать все же придется. Пойдем с конца, нам нужно найти при котором. Так, есть, равно какому-то, находим, чему еще равно это, а равно оно, так и запишем. Как ты видишь, я особо не заморачиваюсь о смысле всех этих величин, просто смотрю из условий, что чему равно, так тебе поступать и нужно. Вернемся к задаче, у тебя уже есть, но как ты помнишь из одного уравнения с двумя переменными ни одну из них не найти, что же делать? Ага, у нас еще в условии осталась неиспользованная частичка. Вот, уже два уравнения и две переменных, значит, теперь обе переменные можно найти - отлично!

Такую систему решить сможешь?

Решаем подстановкой, у нас уже выражена, значит, подставим ее в первое уравнение и упростим.

Получается вот такое квадратное уравнение: , решаем, корни вот такие, . В задании требуется найти наибольшую цену, при которой будут соблюдаться все те условия, которые мы учли, когда систему составляли. О, оказывается это было ценой. Прикольно, значит, мы нашли цены: и. Наибольшую цену, говорите? Окей, наибольшая из них, очевидно, ее в ответ и пишем. Ну как, сложно? Думаю, нет, и вникать не надо особо!

А вот тебе и устрашающая физика, а точнее еще одна задачка:

Задача 3

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому, где — мощность излучения звезды, — постоянная, — площадь поверхности звезды, а — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна, а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Откуда и понятно? Да, в условии написано, что чему равно. Раньше я рекомендовал все неизвестные сразу подставлять, но здесь лучше сначала выразить неизвестное искомое. Смотри как все просто: есть формула и в ней известны, и (это греческая буква «сигма». Вообще, физики любят греческие буквы, привыкай). А неизвестна температура. Давай выразим ее в виде формулы. Как это делать, надеюсь, знаешь? Такие задания на ГИА в 9 классе обычно дают:

Теперь осталось подставить числа вместо букв в правой части и упростить:

Вот и ответ: градусов Кельвина! А какая страшная была задача, а!

Продолжаем мучить задачки по физике.

Задача 4

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону, где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

То были всё уравнения, а вот здесь надо определить, сколько мяч находился на высоте не менее трех метров, это значит на высоте. Что мы составлять будем? Неравенство, именно! У нас есть функция, которая описывает как летит мяч, где - это как раз та самая высота в метрах, нам нужна высота. Значит

А теперь просто решаешь неравенство, главное, не забудь поменять знак неравенства с больше либо равно на меньше, либо равно, когда будешь умножать на обе части неравенства, чтоб перед от минуса избавиться.

Вот такие корни, строим интервалы для неравенства:

Нас интересует промежуток, где знак минус, поскольку неравенство принимает там отрицательные значения, это от до оба включительно. А теперь включаем мозг и тщательно думаем: для неравенства мы применяли уравнение, описывающее полет мяча, он так или иначе летит по параболе, т.е. он взлетает, достигает пика и падает, как понять, сколько времени он будет находиться на высоте не менее метров? Мы нашли 2 переломные точки, т.е. момент, когда он взмывает выше метров и момент, когда он, падая, достигает этой же отметки, эти две точки выражены у нас в виде времени, т.е. мы знаем на какой секунде полета он вошел в интересующую нас зону (выше метров) и в какую вышел из нее (упал ниже отметки в метра). Сколько секунд он находился в этой зоне? Логично, что мы берем время выхода из зоны и вычитаем из него время вхождения в эту зону. Соответственно: - столько он находился в зоне выше метров, это и есть ответ.

Так уж тебе повезло, что больше всего примеров по этой теме можно взять из разряда задачек по физике, так что лови еще одну, она заключительная, так что поднапрягись, осталось совсем чуть-чуть!

Задача 5

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:

Где — время в минутах, . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Действуем по отлаженной схеме, все, что дано, сперва выписываем:

Теперь берем формулу и приравниваем ее к значению температуры, до которой максимально можно нагреть прибор пока он не сгорит, то есть:

Теперь подставляем вместо букв числа там, где они известны:

Как видишь, температура при работе прибора описывается квадратным уравнением, а значит, распределяется по параболе, т.е. прибор нагревается до какой-то температуры, а потом остывает. Мы получили ответы и, следовательно, при и при минутах нагревания температура равна критической, но между и минутами - она еще выше предельной!

А значит, отключить прибор нужно через минуты.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Чаще всего математические модели используются в физике: тебе ведь наверняка приходилось запоминать десятки физических формул. А формула - это и есть математическое представление ситуации.

В ОГЭ и ЕГЭ есть задачи как раз на эту тему. В ЕГЭ (профильном) это задача номер 11 (бывшая B12). В ОГЭ - задача номер 20.

Схема решения очевидна:

1) Из текста условия необходимо «вычленить» полезную информацию - то, что в задачах по физике мы пишем под словом «Дано». Этой полезной информацией являются:

• Формула
• Известные физические величины.

То есть каждой букве из формулы нужно поставить в соответствие определенное число.

2) Берешь все известные величины и подставляешь в формулу. Неизвестная величина так и остается в виде буквы. Теперь нужно только решить уравнение (обычно, довольно простое), и ответ готов.

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений...

В общем случае, модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено эскизом, схемой, фотографией, графиком, таблицей и т.д.

Мы будем рассматривать только математические модели различных экономических процессов, которые описываются математической символикой и решаются с помощью соответствующих математических методов.

В экономической науке используют главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление с помощью математического аппарата (функций, уравнений, неравенств, их систем).

В теории оптимальных решений главная роль отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений.

Модель управляемого объекта строят для того, чтобы применить какой-либо вычислительный аппарат для оптимизации функционирования этого объекта (максимально возможного повышения эффективности его работы). Разработка модели почти всегда связана с попыткой достижения двух противоречивых целей: как можно точнее отобразить реальные процессы и получить модель максимально простую, чтобы с ней легко было работать.

Для применения количественных методов исследования экономических процессов требуется построить математическую модель объекта оптимизации. При построении модели объект, как правило, упрощается, схематизируется и схема объекта описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо объекта или класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математического аппарата и математической символики.

Математические модели имеют ряд преимуществ перед другими видами моделей. К наиболее важным из них можно отнести следующие:

· широкий диапазон применения,

· низкая по сравнению с другими видами стоимость создания модели,

· быстрота получения результатов исследования при использовании электронно-вычислительной техники,

· возможность экспериментирования с исследуемым экономическим процессом,

· возможность проверки правильности выдвинутых предпосылок и условий поставленной экономической задачи.

Математическая модель любой экономической задачи включает в себя целевую функцию, систему ограничений и критерий оптимальности.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, себестоимость, рентабельность и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной.

Целевая функция – характеристика объекта из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования.

При решении задач оптимизации необходимо определить критерий оптимальности, т.е. признак, по которому проводят сравнительную оценку альтернатив и выбирают среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации.

Критерий оптимальности – это показатель, имеющий, как правило, экономический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражается при помощи целевой функции.

Критерий оптимальности операции выполняет такую важную функцию как сравнительная оценка выбранных стратегий (решений) до начала их реализации и на завершающем этапе операции. Он позволяет провести анализ полученных результатов и сделать вывод о том, какая из стратегий была бы оптимальной.

Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации , а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, - ограничениями .

Ограничения – это соотношения, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений, и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Эти ограничения могут быть заданы в форме равенств или неравенств (или их систем).

Решением математической модели экономической задачи, или допустимым планом, называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель может иметь множество решений, или допустимых планов, среди которых надо найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.

Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным .

Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Таким образом , для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее математическую модель, по структуре включающую в себя систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Процесс построения математической модели называют математическим моделированием .

Составление модели объекта требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных (оптимальных) решений.

При построении математической модели важно избежать, с одной стороны, чрезмерного упрощения экономического явления или процесса (т.к. излишнее упрощение не отражает реальной действительности), с другой стороны, - излишней его детализации и усложнения (т.к. это приводит к большому количеству переменных и затрудняет построение модели).

Основные элементы модели:

1) Исходные данные:

· детерминированные,

· случайные.

2) Искомые переменные:

· непрерывные,

· дискретные.

3) Зависимости:

· линейные (переменные входят в первой степени и нет их произведения),

· нелинейные (переменные входят в степени выше первой или есть произведение переменных).

Сочетание разнообразных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации (тема 2), требующим разных методов решения.

При решении конкретной экономической задачи применение методов оптимальных решений предполагает:

· построение математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности,

· изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев оптимальности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

К основным методам принятия оптимальных решений можно отнести следующие:

1) Методы математического программирования:

· линейное программирование,

· нелинейное программирование,

· целочисленное программирование,

· динамическое программирование,

· выпуклое программирование,

· геометрическое программирование,

· параметрическое программирование

· стохастическое программирование,

· эвристическое программирование.

2) Методы теории массового обслуживания.

3) Методы теории игр.

4) Классические методы оптимизации (метод Лагранжа, градиентный метод).

5) Сетевые методы планирования и управления.