Отрицательные числа. Старт в науке

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.

Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

Стоит запомнить выражения ниже.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
0: a = 0, a ≠ 0
Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Мы знаем, что если сложить два или несколько натуральных чисел, то в результате получим натуральное число. Если перемножать натуральные числа между собой, то в результате всегда получаются натуральные числа. А какие числа будут в результате, если из одного натурального числа вычесть другое натуральное число? Если из большего натурального числа вычесть меньшее, то результат тоже будет натуральным числом. А какое число будет, если из меньшего числа вычесть большее? Например, если из 5 вычесть 7. Результат такого действия уже не будет натуральным числом, а будет числом меньше нуля, которое мы напишем как натуральное, но со знаком «минус», так называемым, отрицательным натуральным числом. На этом уроке мы познакомимся с отрицательными числами. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел, добавляя к нему «0» и целые отрицательные числа. Новое расширенное множество будет состоять из чисел:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Эти числа называются целыми. Следовательно, результат нашего примера 5 -7 = -2 будет целым числом.

Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».

Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.

Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.

Изобразим целые числа на числовой оси.

Рисунок оси

Мы видим, что на числовой оси существует бесконечное множество чисел. Положительные и отрицательные числа разделены между собой нулем. Отрицательные целые числа, например -1, читаются как «минус единица» или «отрицательная единица».

Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.

Примеры: отметь на числовой оси +5, +6, -7, -3, -1, 0 и т.д.

При движении вправо по числовой оси числа увеличиваются, а при движении влево - уменьшаются. Если мы хотим увеличить число на 2, мы движемся вправо по координатной оси на 2 единицы. Пример: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 и т. д. И наоборот, если мы хотим уменьшить число на 3 мы будем двигаться влево на 3 единицы. Например: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; и т.д.

1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.

Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.

2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.

3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.

С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.

4. Сравни числа, поставив знак > или < , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 и 2; 0 и -5; -34 и -67; -72 и 0 и т.д.

5. Вспомни, как мы отмечали на координатном луче точки с натуральными координатами. Точки принято называть заглавными латинскими буквами. Нарисуй координатную прямую, и взяв удобный единичный отрезок, изобрази точки с координатами:

А) А(10),В(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)

6. Запиши все целые числа, расположенные между -8 и 5, между -15 и -7, между -1 и 1.

Сравнивая числа, мы должны уметь ответить на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Нарисуем координатную прямую. Изобразим на ней точки с координатами от -5 до 5. Число 3 на две единицы меньше 5, на единицу меньше 4, на 3 единица больше нуля. Число -1 на единицу меньше нуля, на 2 единицы больше -3.

7. Ответь, на сколько единиц:

3 меньше 4; -2 меньше 3; -5 меньше -4; 2 больше -1; 0 больше -5; 4 больше -1

8. Нарисуй координатную прямую. Выпиши 7 чисел, каждое из которых на 2 единицы меньше предыдущего, начиная с 6. Какое у этого ряда последнее число? Сколько может быть всего таких чисел, если количество выписываемых чисел не ограничивать?

9. Выпиши 10 чисел, каждое из которых на 3 единицы больше предыдущего начиная с (-6). Сколько таких чисел может существовать, если ряд не ограничивать десятью?

Противоположные числа.

На числовой оси для каждого положительного числа (или натурального) существует отрицательное число, расположенное слева от нуля на таком же расстоянии. Например: 3 и -3; 7 и -7; 11 и -11.

Говорят, что число -3 является противоположным числу 3, и наоборот, -3 противоположно 3.

Определение: Два числа, которые отличаются друг от друга только знаком называются противоположными.

Мы знаем, что если умножить число на +1, то число не изменится. А если число умножить на (-1), что будет? У такого числа поменяется знак. Например, если 7 умножить на (-1) или отрицательную единицу, то результат будет (-7), число становится отрицательным. Если (-10) умножить на (-1), то получим (+10), т. е. получаем уже положительное число. Таким образом, мы видим, что противоположные числа получаются простым умножением исходного числа на (-1). Мы видим на числовой оси, что у каждого числа существует только одно противоположное число. Например, у (4) противоположное будет (-4), у числа (-10) – противоположное будет (+10). Попробуем найти противоположное число у нуля. Его нет. Т.е. 0 – противоположен самому себе.

А теперь посмотрим на числовой оси, что получится, если сложить 2 противоположных числа. Мы получаем, что сумма противоположных чисел равна 0.

1. Игра: пусть игровое поле разделено пополам на два поля: левое и правое. Между ними проходит разделительная черта. На поле находятся числа. Переход через черту означает умножение на (-1), иначе при переходе через разделительную черту число становится противоположным.

Пусть в левом поле находится число (5). В какое число превратится (5), если пятерка перейдет разделительную полосу 1 раз? 2 раза? 3 раза?

2. Заполни следующую таблицу:

3. Из множества пар выбери пары противоположных. Сколько таких пар ты получил?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Сложение и вычитание целых чисел.

Сложение (или знак «+») означает движение вправо на числовой оси.

1+3 = 4

-1 + 4 = 3
-3 + 2 = -1

Вычитание(или знак»-«) означает движение влево на числовой оси

3 – 2 = 1
2 – 4 = -2
3 – 6 = -3
-3 + 5 = 2
-2 – 5 = -7
-1 + 6 = 5
1 – 4 = -3

Реши следующие примеры с помощью числовой оси:

-3+1=
2)-4-1=
-5-1=
-2-7=
-1+3=
-1-4=
-6+7=

В Древнем Китае при составлении уравнений коэффициенты уменьшаемых и вычитаемых записывались цифрами разного цвета. Прибыль –обозначали красной краской, а убытки – синей. Пример, продали 3 быка и купили 2 лошади. Рассмотрим другой пример: хозяйка принесла на рынок картошку и продала ее за 300 рублей, эти деньги мы прибавим к имуществу хозяйки и напишем их как +300(красное), а затем она потратила 100 рублей (эти деньги мы запишем как(-100)(синие). Таким образом, получилось, что хозяйка вернулась с рынка с прибылью в 200рублей(или +200). Иначе, числа, записанные красной краской всегда складывали, а записанные синей краской вычитали. По аналогии, будем синей краской обозначать отрицательные числа.

Таким образом, мы можем все положительные числа считать выигрышем, а отрицательные проигрышем или долгом или потерей.

Пример: -4 + 9 = +5 результат (+5) можно рассматривать как выигрыш в какой-либо игре; после того, как сначала было проиграно 4 очка, а затем выиграно 9 очков, то в результате останется выигрыш в 5 очков. Реши следующие задачи:

11. В игре в лото Петя сначала выиграл 6 очков, затем проиграл 3 очка, затем опять выиграл 2 очка, затем проиграл 5 очков. Каков результат игры у Пети?

12 (*). Мама пожила конфеты в вазочку. Маша съела 4 конфеты, Миша съел 5 конфет, Оля съела 3 конфеты. Мама положила еще в вазочку 10 конфет, и в вазочке стало 12конфет. Сколько конфет было сначала в вазочке?

13. В доме одна лестница ведет из подвала на второй этаж. Лестница состоит из двух пролетов по 15 ступенек каждый (один из подвала на первый этаж, а второй с первого этажа на второй). Петя был на первом этаже. Сначала он поднялся по лестнице на 7ступенек вверх, а затем спустился на 13 ступенек вниз. Где оказался Петя?

14. Кузнечик прыгает вдоль числовой оси. Один прыжок кузнечика составляет 3 деления на оси. Кузнечик сначала делает 3 прыжка вправо, а затем 5 прыжков влево. Где окажется кузнечик после этих прыжков, если первоначально он находился в 1)«+1»;2) «-6»;3) «0»;4) «+5»;5) «-2»;6) «+3»;7) «-1».

До сих пор мы привыкли к тому, что рассматриваемые числа отвечали на вопрос «сколько». Но отрицательные числа не могут быть ответом на вопрос «сколько». В житейском смысле отрицательные числа связаны с долгом, проигрышем, с такими действиями, как недолил, недопрыгнул, недовесил и т.д. Во всех этих случаях мы просто вычитаем долг, проигрыш, недовес. Например,

На вопрос « Сколько будет «тысяча без 100»?», мы из 1000 должны вычесть 100 и получим 900.
Выражение «3 часа без четверти» – означает, что мы должны вычесть 15 мин из 3 часов. Получим, таким образом, 2часа 45 мин.

А теперь реши следующие задачи:

15. Саша покупал 200гр. масла, но недобросовестный продавец недовесил 5 гр. Какую массу масла купил Саша?

16.На беговой дистанции в 5 км. Володя сошел с дистанции, не добежав до финиша 200м. Какое расстояние Володя пробежал?

17. Заполняя трехлитровую банку соком мама не долила 100мл сока. Сколько сока получилось в банке?

18. Кино должно начаться без двадцати минут восемь. сколько минут Во сколько часов и во сколько минут должно начаться кино?

19.У Тани было 200руб. и она должна Пете 50 руб. После того, как она отдала долг, сколько денег осталось у Тани?

20. Петя с Ваней пошли в магазин. Петя захотел купить книгу за 5 рублей. Но у него оказалось только 3 рубля, и он занял у Вани 2 рубля и купил книгу. Сколько денег оказалось после покупки у Пети?

3 - 5= -2 (из того, что у него было до покупки вычтем стоимость покупки, получим -2 рубля, то есть два рубля долга).

21. Днем температура воздуха была 3°тепла или +3°, а ночью 4° мороза или -4°. На сколько градусов понизилась температура? И на сколько градусов ночная температура меньше, чем дневная?

22. Таня договорилась встретиться с Володей без четверти семь. Во сколько часов и во сколько минут они договорились встретиться?

23. Тима с приятелем пошел в магазин покупать книгу, которая стоила 97 рублей. Но когда они пришли в магазин, то выяснилось, что книга подорожала, и стала стоить 105 рублей. Тима занял приятеля недостающую сумму, и все-таки купил книгу. Сколько денег Тима стал должен приятелю?

2. Какие числа называют отрицательными?

А) со знаком «+»; б) со знаком «-».

х + 2,6, если: х

А) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше;

Б) сложить их модули; поставить перед полученным числом знак « - ».

11. Найдите значение суммы:

12. Найдите значение выражения х + 2,6, если: х = -1,47 ___________________________

9. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

Б) сложить их модули; поставить перед полученным числом знак « - ».

10. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

Б) сложить их модули; поставить перед полученным числом знак « - ».

11. Найдите значение суммы:

А) – 36 + (-54)= ; б) -23 + 23= ; в) -145 + 0 = ; г) -127,3 + (-13,9)= ;

12. Найдите значение выражения х + 2,6, если: х = -1,47 ___________________________

А) перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) перемножить модули этих чисел.

4. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо:

А) разделить модуль делимого на модуль делителя, поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) разделить модуль делимого на модуль делителя.

Тест по теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел»

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:

а) перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) перемножить модули этих чисел.

2. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо

А) перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) перемножить модули этих чисел.

3. Поставьте знак.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Мир чисел очень загадочен и интересен. Числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?

В прошлом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У меня возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии я прочитал, что отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

В итоге я решил исследовать историю возникновения отрицательных чисел.

Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных и положительных чисел.

Объект исследования - отрицательные числа и положительные числа

История положительных и отрицательных чисел

Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Эти числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей.

Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные - «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Это можно заметить в книге «Арифметика в девяти главах» (Автор Чжан Цань). Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел...". Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество - долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».

(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = - (х + у)‏

(-х) + (+у) = - (х - у)‏ (-х) + (+у) = +(у - х)‏

0 - (-х) = +х 0 - (+х) = -х

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные - «рина» или «кшайя» (долг). Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000.

Чуть позже в Древней Индии и Китае догадались вместо слов "долг в 10 юаней" писать просто "10 юаней", но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков "+" и "-" в древности не было ни для чисел, ни для действий.

Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как "недоступный". И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком.

Правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них. В то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное».

В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII-XIII вв., но до XVI в. большинство ученых считали их «ложными», «мнимыми» или «абсурдными», в отличие от положительных чисел - “истинных”. Положительные числа так же толковались как «имущество», а отрицательные - как «долг», «недостача». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. "Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг". Однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной.

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввел координатную прямую. (1637 г.).

Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные - влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел способствовало к их признанию.

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

Так же и Жирар считал отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.

Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах - числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки "+" и "-". (Например: термометр, шкала глубин и высот)

Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и "абсурдные числа" получили всеобщее признание.

Определение понятия числа

В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 - около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное - кратной частью единицы, иррациональное - число, не соизмеримое с единицей».

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа - это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5 классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Появились дробные числа. Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие-либо реальные явления.

Происхождение слов «плюс» и «минус»

Термины произошли от слов plus - «больше», minus - «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «-» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «-», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+».

Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

Современные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «-» для сложения и вычитания.

Чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» - это 0.

Отрицательные числа в Египте

Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Отрицательные числа в Древней Азии

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные - «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество - долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные - «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.

Отрицательные числа в Европе

Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование «имущество-долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг? (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)

Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной (Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988)

Современное истолкование отрицательных чисел

После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.

Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные - влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию.

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.

Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта.

Вывод

В своем работе я исследовал историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделал вывод:

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Все эти множества чисел я постараюсь изучить.

Приложение

СТИХОТВОРЕНИЕ

«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

Если уж захочется вам сложить

Числа отрицательные, нечего тужить:

Надо сумму модулей быстренько узнать,

К ней потом знак «минус» взять да приписать.

Если числа с разными знаками дадут,

Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.

Больший модуль быстро очень выбираем.

Из него мы меньший вычитаем.

Самое же главное - знак не позабыть!

Вы какой поставите? - мы хотим спросить

Вам секрет откроем, проще дела нет,

Знак, где модуль больше, запиши в ответ.

Правила сложения положительных и отрицательных чисел

Минус с минусом сложить,

Можно минус получить.

Если сложишь минус, плюс,

То получится конфуз?!

Знак числа ты выбирай

Что сильнее, не зевай!

Модули их отними,

Да все числа помири!

Правила умножения можно истолковать и таким образом:

«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .

«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ = ─.

«Враг моего друга - мой враг»: ─ ∙ + = ─.

Знак умножения есть точка, в ней три знака:

Прикрой из них два, третий даст ответ.

Например.

Как определить знак произведения 2∙(-3)?

Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»

Список литературы

«История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.

«История математики в древности», Э. Кольман.

«Справочник школьника». ИД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 г.

Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

Вигасин А.А,.Годер Г.И., "История древнего мира" учебник 5 класса, 2001г.

Википедия. Свободная энциклопедия.

Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. - М.: Просвещение, 1987.

Гельфман Э.Г. "Положительные и отрицательные числа", учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

Глав. ред. М. Д. Аксёнова. - М.: Аванта+,1998.

Глейзер Г. И. "История математики в школе", Москва, "Просвещение", 1981 г.

Детская энциклопедия "Я познаю мир", Москва, "Просвещение", 1995г.

История математики в школе, IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.

Малыгин К.А.

Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.

Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. "Математика 6 класс", Москва, "Просвещение",1989г

Учебник 5 класс. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

Фридман Л. М.. "Изучаем математику", учебное издание, 1994 г.

Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., - Томск: Издательство Томского университета, 1998г.

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика

Человек не может понимать

Окружающий его мир только

Логикой мозга, он должен

Ощутить его логикой сердца,

То есть эмоций.

С. В. Образцов

Могущество и красота математической мысли – в предельной четкости ее логики. И вместе с тем математические высказывания – определения, теоремы, формулы – сопоставимы с поэзией по силе воздействия на воображение, по целенаправленной плотности языка.

Посредством гармонии ритма точных слов, образов и рифмы стихотворения обретают эмоциональность, звучность, красоту. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике.

По мнению академика Н. П. Бехтеревой, чтобы маленький человек освоил ему впервые встретившуюся мысль, надо добиться того, чтобы вокруг этой мысли работала вся его голова, все его органы чувств. Не случайно в некоторых странах принято таблицу умножения заучить, распевая соответствующие куплеты-считалки. Мы тоже на уроках математики собираем, сочиняем сказки, считалки, стихотворения, песенки.

Конечно, математика – наука серьезная, и учить ее надо серьезно и вдумчиво. Но и забавные стихи, песенки помогают «учению с увлечением», а значит, и успеху в учении, без которого обучение становится безрезультатным. А в поэзии допустимы вольности.

Мы прочитали, что люди в своем опыте используют различные внутренние процессы (видение, слышание, чувствование). То есть, есть люди - визуалы, аудиалы, кинестетики Тогда становится понятным, что за такими словами, как «думать», «размышлять», «понимать» у различных людей подразумеваются различные внутренние процессы. И еще, мы узнали, что есть дети «гуманитарии», которым очень трудно дается математика.

Мы провели исследование среди учащихся 5-6 классов, чтобы выяснить какие темы по математике самые « нелюбимые», а потом помочь ребятам, вызвать интерес к этим темам. Для этого создать книжку-подсказку, в которой собрать необычные «находки», которые помогут полюбить данную тему и математику в целом.

После обработки анкет выяснилось, что в 5 классе почти все учащиеся «математики» и « не любимых» тем у них нет. А вот в 6 классе очень многим ребятам математика дается с трудом, а самая трудная тема «Положительные и отрицательные числа»

И так основная цель статьи:

Сделать книжку – подсказку для учащихся 6 класса по теме «Положительные и отрицательные числа».

Гипотеза: Мы предполагаем, что прочитав стихи, сказки, придуманные одноклассниками, нарисовав рисунок, представив то, о чем говорится в стихах, сказках, сделать выводы и понятнее станет тема.

Объектом исследования мы определили учащихся 5-6 классов, а предметом отрицательные числа.

1. Провести исследование в 5-6 классах

❖ по выявлению доминирующего полушария головного мозга

❖ по выявлению «любимых» и «не любимых» тем

❖ по определению преобладающего канала получения и переработки информации

1. Собрать и проанализировать стихи и сказки об отрицательных числах

2. Сделать книжку - подсказку

Нам эта тема была очень интересна, благодаря стихам, сказкам играм, сценкам и другим нестандартным заданиям. Мы сами любим сочинять различные «запоминалки». Думаем, что сможем помочь шестиклассникам лучше разобраться в этой теме, поместив в свою книжку правила в стихах, сказках и другие «запоминалки».

Мы собрали стихи и сказки про положительные и отрицательные числа.

Придумали 3 эскиза для обложки нашей книжки, а затем выбрали ту, которая нам больше понравилась.

Ожидаемые результаты:

1. Приобретение навыков исследовательской работы.

2. Данный материал поможет учащимся 6 класса в изучении темы «Отрицательные числа»

3. Сможем пополнить свой портфолио

4. Навыки, приобретенные в ходе работы, пригодятся в жизни, так как собираемся связать свою жизнь с математикой.

ПРО ЛЮБОВЬ К МАТЕМАТИКЕ

Из истории терминов

Понятие об отрицательном числе возникло при решении уравнении. Каких только обидных названий не давали отрицательным числам - их называли и нелепыми, и ложными, и придуманными Просто удивительно, что после всего этого отрицательные числа продолжают служить людям! Император Ши Хуан Ди разгневался на ученых и приказал сжечь все научные книги, авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас только в отрывках, откуда и стало известно, что китайцы не знали правил знаков при умножении положительных и отрицательны чисел. Впервые их сформулировали индийские ученые.

Древнегреческий математик Диофант в III в. фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел. Вообще положительные числа трактовались как имущество, а отрицательные – как долг. Но ученые таких чисел не признавали, они считали, что «меньше чем ничто» ничего быть не может.

Итальянский ученый Леонардо Фибоначчи (XII – XIII в.) пришел к мысли, что отрицательные количества следует понимать в смысле противоположном положительным количествам. Немецкий математик Михаил Штифель впервые в 1544 г. Дал определение отрицательных чисел как чисел, меньших нуля. Великий французский математик Рене Декарт (1596 – 1650) предложил откладывать отрицательные числа на координатной прямой влево от нуля. А всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX в.

1. 2 Про любовь к математике

«И прекрасна, и сильна Математика – страна»

За высокими горами,

За синими морями,

В тридесятом царстве

Живет прекрасная страна

Ма-те-ма-ти-ка!

И стоит, в стране чудесной

Новый город со дворцом,

А в дворце златоглавом

Знаки дружно там живут,

Знаки терем стерегут,

Вместе песенку поют.

Я ночами плохо сплю,

Математику я так давно люблю.

Я и днем теперь не сплю,

Я и вечером не сплю,

Ма-те-ма-ти-ку, математику люблю.

Изучение математики многим дается нелегко и требует упорства и труда.

Очень часто можно услышать, что учащиеся не любят математику. Она им кажется недостаточно интересной и даже скучной.

Мы занимаемся по учебникам «Математика. Психология. Интеллект»

(МПИ). На уроках математики у нас часто присутствуют: сказки, сказочные герои, стихи и даже песни. И тогда в классе царит хорошее настроение, а это помогает работе на уроке.

Когда не интересно на уроке, то вроде слушаешь, а не слышишь. В результате появляются пробелы в знаниях, что обнаруживается чаще всего во время самостоятельных, контрольных работ и при выполнении работы дома.

После обработки анкет выяснилось, что в 5 классе почти все учащиеся любят математику и « не любимых» тем у них нет. А вот в 6 классе очень многим ребятам математика дается с трудом, а самая трудная тема «Положительные и отрицательные числа»

ПРО ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Сказки об отрицательных числах

Дружок! Прочитай сказку, придуманную шестиклассниками о жизни точек, обитающих на координатной прямой. Нарисуй их. Сделай выводы.

О жизни точек на координатной прямой

На координатной прямой жила-была точка А. Там же жили много точек, и у каждой был свой дом под названием «координата». Координаты были разные – положительные и отрицательные, целые и дробные. У одной точки даже была координата равная 0. Эта точка была самой важной из всех.

И вот однажды точка А решила отправиться в гости к точке М с координатой -3. От своего дома с координатой 3 она пошла вправо по координатной прямой. Миновав дома восьми точек, она решила отдохнуть и определить, где находится. Рядом была точка В, которая жила в доме с координатой 11. Точка А поняла: она пошла не в ту сторону, и подумала, что, оказывается, изменив номер своего дома на 8 номеров, она тем самым сложила эти числа и получила 3+8 =11 – номер дома точки В.

Очень интересно! – размышляла точка А. – Что же будет, если я пойду влево от точки В?

И она отправилась влево по координатной прямой. Только пройдя мимо 14 домов точек, она увидела, наконец, то, к чему стремилась, - дом точки М с координатой -3. Точка А стала рассуждать:

Я двигалась влево. Все знают, что при движении влево по координатной прямой числа уменьшаются. А если координата уменьшилась, значит, она изменилась на отрицательное число единиц. Получается, что за весь путь, который я прошла, координата изменилась на -14,получится -3.

А теперь ответь на вопросы.

1. Что значит с помощью координатной прямой к числу а прибавить число в?

2. Как изменится число, если к нему прибавить положительное число?

3. Как изменится число, если к нему прибавить отрицательное число?

На аккуратно начерченной числовой прямой собрались на совещание разные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Председателем единогласно был избран нуль. Он и стал первым держать речь: «Уважаемые числа, мы собрались здесь для того, чтобы произвести оценку нашим действиям. Я должен отметить, хотя, может, это и нескромно, что от меня ведется отсчет всех чисел, поэтому я буду давать вам оценку. Справа от меня расположены числа положительные, ничего отрицательного о них не скажешь. Слева – числа отрицательные, в жизни очень плохо быть отрицательным, но нам в математике часто без них не получить положительный ответ. Всяческого одобрения заслуживает модуль, который всегда неотрицательный.

Сидят числа и раздумывают: что стоит оценка нуля?

Королевская прогулка. 1

А если бы я не собрала Шалтая – Болтая? – спросила Алиса, когда они с Белым Королем пошли по дороге для королевских прогулок. – Ведь я не смогла бы дать вам торт: у меня ничего нет!

Ну что ж, - пожал плечами Король, - значит, у тебя стало бы еще меньше, чем ничего!

Но разве бывает меньше, чем ничего? – удивилась Алиса.

Конечно, бывает, - сказал Король. – Например, если ты кому-то должна, у тебя ведь меньше, чем ничего, правда?

Правда, - согласилась Алиса.

Вот ты и была должна мне один торт. Можно сказать, - добавил Король, что у тебя тогда стало бы минус один торт.

Минус один? – переспросила Алиса.

Это число, которое на единицу меньше нуля, - пояснил Король.

Но разве бывают числа меньше нуля? – еще больше удивилась Алиса.

Сколько угодно, - охотно отозвался Король. – Берешь любое число больше нуля, скажем пять, отнимаешь его от нуля – и пожалуйста – получаешь «минус пять», число, которое на пять меньше нуля! У таких чисел и название есть – отрицательные числа.

А как называются числа, которые больше нуля? – спросила Алиса.

Положительные, - ответил Король.

Значит, отрицательных чисел столько же, сколько положительных? – догадалась Алиса.

Ровно столько же, - подтвердил Король. – И тех и других бесконечно много!

А сам нуль – какое число, положительное или отрицательное? – спросила Алиса.

Нуль – единственное число, которое не положительное и не отрицательное, - сказал Король.

Непослушные сестренки

Жила была в Математическом царстве в Арифметическом государстве, в деревне Положительных чисел Троечка. Она договорилась, по телефону встретится со своей двоюродной сестрой Минус Троечка, которая жила в деревне Отрицательных чисел. Встретится, решили вечером в нулевом лесу. Они никогда не видели друг друга. Пошла Троечка по Координатной прямой, которую пересекала другая прямая. Эту дорогу называли перпендикулярной. Входить в этот лес строго воспрещалось. За этим следил леший «Икс». Непослушные сестренки обманули лешего и пробрались в лес, но как только они встретились, так сразу же исчезли.

Не зря же им говорили, что противоположным числам в Нулевом лесу встречаться нельзя.

3+(-3)=0 Сумма противоположных чисел равна нулю.

Сказка о нуле, положительных и отрицательных числах

В некотором царстве в некотором государстве, в тридевятом государстве, жил был царь по имени НУЛЬ. Однажды царь созвал положительные и отрицательные числа на совещание. Совещание проходило на координатной прямой. НУЛЬ сидел в середине на золотом троне, рядом с ним стояли +1 (справа) и -1 (слева)

Начал говорить первым царь:

«Совещание открывается!»

«Дорогие числа, по-моему, размышлению совещание должен открыть я, потому что от меня начинается отсчет чисел» - сказал НУЛЬ и стал держать свою речь дальше. «Так дорогие числа, отрицательные и положительные. Вправо от меня располагайтесь положительные числа, а влево отрицательные. Отрицательными в жизни быть трудно, поверьте, я уж знаю, ведь я царь по имени НУЛЬ. Я все испытал на себе, прежде чем взойти на этот золотой трон. Но в математике отрицательные числа нужны.

Большое внимание и благородство заслуживает модуль, он никогда не бывает отрицательным числом, а всегда положительным. На этом совещание закончено» - сказал НУЛЬ.

До свидания дорогие числа положительные и отрицательные.

Город Чисел

Это было очень давно. Тогда, когда в великой стране Математики в области чисел стояли два города – город Плюс и город Минус. Жили в этих городах числа. Вы догадались, конечно, что жителями города Плюс были положительные, а жителями города Минус – отрицательные числа.

Между городами проходила граница, возле которой один-одинешенек, круглым сиротой жил пограничник Ноль.

По-разному числа жили: ссорились и дружили, складывались и умножались, делились и вычитались. Самые разные были действия, самыми разными получались результаты. Одно было одинаково: если получался результат противоположный по знаку родному городу, это число должно было уйти в другой город. В городе положительных чисел было попроще: там только вычитание могло дать отрицательный результат, а вот в городе Минус Вы даже представить себе не можете сколько результатов вынуждено было покидать свой родной город

Может и не было бы всей этой истории, не появись однажды в результате какого-то действия Минус Единицы. Это была не обычная Минус Единица – она родилась с огромным зарядом умножения. Услышав однажды рядом с собой горькие вздохи она тут же подошла к группе чисел с вопросом: “Что случилось?. ” Целая группа положительных результатов тут же была ею перемножена и, изменив свой знак на минус, не ушла в город Плюс, а осталась жить в родном Минусе со своими исходными данными

Пограничник Ноль уже и удивляться перестал, что со стороны города отрицательных чисел давным-давно не появлялись ходоки, только однажды поздним вечером он почувствовал что-то неладное: к его жилищу стремительно приближалась стройная фигурка, и издалека чувствовалось ее намерение перемножиться с ним.

– Не смей этого делать! – успел закричать Ноль. – Ты с ума сошла? Ты же просто исчезнешь

– Так нужно. Я не могу теперь оставаться в городе Минус, а больше мне негде жить.

– Но что случилось?.

– Я очень долго была нужна своему городу: меняя знаки всем положительным результатам, я помогала им оставаться в Минусе и не уходить в Плюс. Меня очень многие благодарили за это, даже, наверное, любили. А сегодня, собравшись вместе, Множество многозначных чисел вынесло приговор: не считать меня числом, ведь древние греки единицу за число не считали

– Ну и пусть. Они тебе просто позавидовали. Я теперь понял, почему из вашего города так долго никто не появлялся на границе

Смотри-ка, от города Плюс идут сюда числа. Да они все отрицательные! А ну-ка покажи свое искусство, они ведь тоже не хотят уходить из родного дома

А конец сказки может прозвучать так:

Пограничник Ноль возмутился:

– Нет, друзья мои, так дальше не пойдет. Никак не закончатся ваши бесконечные споры и ссоры. Мне надоело быть отшельником. Я ведь тоже число и хочу жить вместе со всеми. Никаких Минусов и Плюсов больше не будет, а будет Город Чисел. Если же вам всем захочется место свое узнать, выстроимся по прямой: на одной половине – положительные, на другой – отрицательные числа. А я посередине между вами встану и каждому, кто сам не найдет, место его покажу

Так появилась в математике известная сегодня всем числовая ось.

Придумать продолжение истории и не забыть про счастливый конец1.

Жили в Стране математики два рыцаря, два брата, лицом похожие, а характером противоположные. Первый был злой, отрицательный. Минусом звали его братья. Второй был добрый, снисходительный, юный, положительный, и звали его Плюс. Жили они, не тужили, без драк и ссор. Но тут случился у них такой вот спор:

Надо выполнить сложенье чисел 3 и (-8)

Умножение плюс на минус и минус на минус

Совсем непросто шестиклассникам запомнить: чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак “Минус”.

А если перемножают два отрицательных числа – учить еще одно правило?

А может быть лучше так?

Плюс на минус, минус, плюс!

Умноженья не боюсь!

Перемножить модули – это же пустяк

Самое главное – не забыть про знак.

Плюс, на минус умножая,

Ставим (-) не зевая,

(+) на (+) – и плюс в ответе.

Всем пятерки будут, дети!

(-) с (-) умножу,

(+) в ответе будет тоже.

Выучи стихотворенье –

Веселей пойдет ученье!

А ведь действительно веселей!

И ошибок меньше, и скуки.

Вот еще одна подсказка

ДРУГ МОЕГО ДРУГА – МОЙ ДРУГ,

ВРАГ МОЕГО ДРУГА – МОЙ ВРАГ,

ВРАГ МОЕГО ВРАГА - МОЙ ДРУГ.

Экономическая часть

Расчёт затрат на изготовление книжки «Подсказки в стихах и сказках»

№ п\п Наименование Стоимость руб. Расход Общая стоимость материала

1. Бумага ксероксная 0,3 12 3,6

2. Бумага фотографическая 3 2 6

3. Плёнка для обложки 0,5 2 1

4. Краска для принтера 100 0,1 10

Всего: 20,6 рубля

Для сравнения: Такая же книжка в книжном магазине будет стоить приблизительно 60 рублей.

В ходе нашей исследовательской работы мы многое узнали о себе. Все исследования мы с начало проводили на себе, а потом выходили к ребятам 5-6 классов.

Мы узнали, что люди в своем опыте используют различные внутренние процессы (видение, слышание, чувствование). То есть, есть люди - визуалы, аудиалы, кинестетики теперь нам стало понятно, что за такими словами, как «думать», «размышлять», «понимать» у различных людей подразумеваются различные внутренние процессы. И еще, мы узнали, что есть дети «гуманитарии», которым очень трудно дается математика, и мы надеемся, что наша книжка поможет этим ребятам понять тему «Положительные и отрицательные числа».

Мы приобрели навыки исследовательской работы. А школьники, изучившие данный материал, смогут лучше понять и полюбить математику.

Навыки, приобретенные в ходе этой работы, пригодятся нам в жизни, так как мы в дальнейшем хотим связать свою жизнь с математикой.