Обобщенные силы и их вычисление. Обобщенная сила системы с одной степенью свободы. Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы. Обобщенные силы, способы их вычисления. Условия равновесия системы с голономными связями, выраженные в терминах обобщ

Рис.71

Рис.70

Рис.69

Положение точек кривошипно-шатунного механизма (рис.70) можно определить заданием угла поворота кривошипа или расстоянием s , определяющим положение ползуна В (при ).

Положение сферического маятника (рис.71) определяется заданием двух параметров, углов и .

Минимальное количество независимых друг от друга обобщенных координат, которых достаточно, чтобы полностью и однозначно определить положение всех точек системы, называют числом степеней свободы этой системы.

Вообще для любой материальной системы можно назначить несколько обобщенных координат. Например, у кривошипно-шатунного механизма (рис.70) указаны две обобщенные координаты и . Но это не значит, что у механизма две степени свободы, так как одну координату можно определить через другую:

А вот у маятника (рис.71) две степени свободы, т.к. определяется его положение двумя независимыми обобщенными координатами. Кстати, если длина маятника изменяется, то для определения положения точки М потребуется еще один параметр – обобщенная координата l , длина нити. И у маятника станут три степени свободы.

Обобщенные координаты в общем случае будем обозначать буквой q .

Пусть материальная система имеет s степеней свободы. Положение ее определяется обобщенными координатами: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k ,…, q s . .

Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системы можно определить как функции обобщенных координат и времени:

Так у маятника (рис.71) координаты точки М

есть функции координат l , и , и времени t , если l = l(t).

Соответственно, и радиус-вектор точек системы можно определить как функцию обобщенных координат и времени:

Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где – перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k –той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность

Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то = Нм; если [q ] = м 2 , то и т.п.

Пример 23. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.72). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе . Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n-h степеней свободы, то положение этой системы определяется ( i = s)

обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k – й точки

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил

(2.24), получаем

Скалярную величину = (2.26)

называют обобщенной силой , соответствующей i -й обобщенной координате.

Обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от

¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и

¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T j от N j , (T j ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m , который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:

¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,

¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то:

¾в первом случае обобщенной силой будет

Рис. 2.9 Q s = mg sina, а

¾во втором случае ¾ Q j = mg r cosa.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)

(2.27)

следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.

Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Q s ¾ будет[ньютон ] ,

Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Q j ¾ будет [ньютон ´ метр ].

Пусть имеем систему материальных точек , подчиненную s удерживающим связям, уравнения которых имеют вид, приведенный выше.

Если бы система была свободной, то все декартовых координат ее точек были бы независимыми. Для указания положения системы потребовалось бы задать все декартовых координат ее точек . В несвободной механической системе декартовых координат ее точек должны удовлетворять s уравнениям связей, поэтому независимыми среди них будут только координат.

Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы.

Следовательно, механическая система, состоящая из N свободных материальных точек, имеет степеней свободы. Несвободная система из N материальных точек с s удерживающими связями степеней свободы.

Определяя положение несвободной системы, мы можем независимо задавать только координат; остальные s координат определяются из уравнений связей. Однако положение несвободной системы можно задавать более удобным способом - вместо независимых декартовых координат задавать такое же число других геометрических величин, через которые декартовы координаты (как зависимые, так и независимые) могут быть однозначно выражены. В качестве таких величин, называемых обобщенными координатами системы, могут выбираться углы, линейные расстояния, площади и т.п. Удобство состоит в том, что обобщенные координаты можно выбирать с учетом наложенных связей, т.е. сообразуясь с характером движения, допускаемого для системы всей совокупностью наложенных связей. При этом связи учитываются автоматически, а необходимость решать уравнения связей относительно зависимых координат отпадает.

Пример 1. Положение физического маятника, состоящего из шарнирно закрепленного в точке О тяжелого стержня О А, вполне определяется заданием угла (рис. 78). Если угол задан, то для любой точки стержня с заданным расстоянием могут быть вычислены ее декартовы координаты:

Пример 2. Для механической системы, состоящей из математического маятника на подвижной платформе (рис. 79), положение в пространстве вполне определяется величинами s и ( заданы).

Положение платформы определяется расстоянием s, координаты точечной массы М также легко вычисляются:

Величины (пример 1), и s (пример 2) являются обобщенными координатами указанных систем. Это понятие можно распространить на случай произвольной механической системы.

Таким образом, обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы .

Независимо от геометрического смысла и, соответственно, размерности, обобщенные координаты обозначают единообразным способом, буквой q с номером: . Из того факта, что обобщенные координаты однозначно определяют положение механической системы в выбранной системе координат Oxyz, следует, что существуют функции

выражающие декартовы координаты всех точек системы через обобщенные координаты и, быть может, время t. Конкретный вид этих функций устанавливается свой для каждой системы (см. примеры 1 и 2).

Если ввести радиусы-векторы точек () указанные функции можно представить в векторной форме

Введем теперь понятие обобщенной силы. Зафиксируем систему в произвольный момент времени t и сообщим ей из этого положения возможное перемещение.

Пусть в результате обобщенные координаты получают приращения (вариации) . Соответствующие элементарные перемещения точек системы найдем, вычисляя дифференциалы функций при фиксированном () времени:

Вычисляя возможную работу приложенных сил, найдем:

Видно, что возможная работа выражается однородной функцией первой степени (линейной формой) относительно вариаций обобщенных координат с коэффициентами

т. e. имеет вид

Коэффициенты называются обобщенными силами.

Таким образом, каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила . При этом обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется коэффициент при вариации этой обобщенной координаты в выражении для возможной работы сил, приложенных к точкам системы.

Обобщенные силы можно вводить для отдельных групп сил, например для активных сил, для реакций связей, для потенциальных сил и т.д. Тогда полная обобщенная сила будет выражаться суммой обобщенных сил, соответствующих этим выделенным группам. Так, если действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то полные обобщенные силы будут равны

где - обобщенные активные силы, - обобщенные реакции связей.

Обобщенные реакции идеальных связей всегда равны нулю. По этой причине реакции идеальных связей можно при вычислении обобщенных сил игнорировать.

Пример 3. Вычислить обобщенную силу физического маятника, состоящего из стержня ОА длиной и массой (рис. 80).

Решение. Физический маятник является системой с одной степенью свободы . Следовательно, положение маятника определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол наклона к вертикали .

Изображаем маятник в произвольном положении, прикладываем действующие силы. Реакции в опоре А можно не показывать, так как шарнир является идеальной связью и его вклад в обобщенную силу равен нулю. Сообщаем системе возможное перемещение - элементарный поворот маятника на угол в сторону возрастания угла . Работу совершает только вес маятника . Его точка приложения (центр тяжести С стержня) опишет дугу длиной , при этом поднимется вдоль вертикали на величину , совершив элементарную работу

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

[Q]= Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [q ] = м 2 , то [Q]=H/м и т.п.

Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.10

Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р , получим обобщенную силу

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р , колечко М , переместится на . Обобщенная сила получится

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и . Получается гораздо проще.

Уравнения равновесия Лагранжа

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…,s , где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q k = 0, (k =1,2,3,…, s ). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа , позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М 1 имеет минимум, в положении М 2 – максимум. Можно заметить, что в положении М 1 равновесие будет устойчивым; в положении М 2 – неустойчивым.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.

Рис.12

Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .

Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или

В положении равновесия должно быть . Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА 1 и ОА 2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , . Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.

Обобщенные силы инерции.

По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q k , соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S k , соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:

Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s ) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими . Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ , которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l , вес – Р .

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Составляем уравнение

или, окончательно,

Вопросы для самопроверки

Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

Чему равно число степеней свободы механической системы?

В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

Что называют возможными перемещениями механической системы?

Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

Какие связи механической системы называют идеальными?

Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

Как формулируется принцип возможных перемещений?

Какие виды может иметь уравнение работ?

Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

Как формулируется золотое правило механики?

Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

Какие связи называются голономными?

Что называется числом степеней свободы механической системы?

Что называется обобщенными координатами системы?

Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

Что называется обобщенной силой?

Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

Как определяется размерность обобщенной силы?

Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

Что такое обобщенная сила инерции?

Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

Какой вид имеет общее уравнение динамики?

Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

Какие связи называются геометрическими?

Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

Что называется кинетическим потенциалом системы?

Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 1

Р 1, кН Р 2, кН q , кН/м M , кНм Р 1 , кН Р 2, кН q , кН/м M , кНм

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Рис.16 Рис.17

Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).

Освободимся от связи, соответствующей реакции X A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.

Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB , поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х ), находим мгновенный центр скоростей C 1 рамы АЕС . Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C 1 на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)

Из подобия треугольников EC 1 C и BCD имеем

В результате получим зависимости:

Согласно принципу возможных перемещений

Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:

Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна.

Лекция 24

12. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

Для введения понятия обобщенных координат рассмотрим плоский двойной математический маятник, состоящий из двух невесомых стержней длиной l 1 и l 2 с точечными массами m 1 и m 2 на концах (рис. 12.1). Система обладает двумя степенями свободы.

Действительно стержень ОМ 1 может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О , перпендикулярной плоскости движения хОу , а стержень M 1 M 2 – вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M 1 , в той же плоскости. Поэтому уравнения связей имеют вид: z 1 = 0,z 2 = 0,

Поэтому, так как n = 2, а число уравнений связей k = 4, то S = 3n – k = 2, т.е. лишь две из шести декартовых координат являются независимыми и должны быть заданы. Остальные же координаты можно выразить из уравнений связей через независимые координаты.

На практике координаты х 1 , у 1 z 1 , х 2 , у 2 , z 2 выражают через какие-либо независимые переменные другой природы, в нашем случае ими являются углы и отклонения стержней от вертикали:

х 1 = l 1 × cos j 1 , y 1 = l 1 × sin j 1 , z 1 = 0;

x 2 = l 1 × cos j 1 + l 2 × cos j 2 , y 2 = l 1 × sin j 1 + l 2 × sin j 2 , z 2 = 0. (12.1)

Здесь углы и играют роль независимых параметров, однозначно определяющих положение рассматриваемой механической системы.

Пусть теперь имеется система n материальных точек, на которую наложены k голономных связей, заданных уравнениями (10.2). Поскольку число степеней свободы равно S , то введем независимые переменные q 1 , q 2 , ..., q s . Тогда для рассматриваемой системы соотношения (12.1) примут вид:

x n = x n (q 1 , q 2 , ... , q s , t );

у n = у n (q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ),

z n = z n (q 1 , q 2 , ..., q s , t );

(q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ). (12.2)

Отметим, что независимые координаты q m (m = 1, 2, …, s ) – это не обязательно набор S переменных из числа декартовых координат x n , у n , z n . Ими могут быть переменные другой природы, так в приведенном выше примере вместо декартовых координат введены угловые координаты.

S независимых параметров q 1 , q 2 , ..., q s однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются обобщенными координатами .

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями ( = dq m /dt ).

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если q m – линейная величина, то – линейная скорость; если q m – угол, то – угловая скорость; если q m – площадь, то – секторная скорость. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях.

Для введения понятия обобщенных сил рассмотрим голономную систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют соответственно силы , , ..., . Пусть система имеет S степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q 1 , q 2 , ...,q s . Сообщим системе в фиксированный момент времени такое виртуальное перемещение, при котором обобщенная координата q m приобретает приращение d q m > 0, а остальные обобщенные координаты не изменяются. Тогда каждый радиус-вектор получит виртуальное перемещение ( ) m , которое вычисляется как частный дифференциал:

(d ) m = . (12.3)

Согласно (10.9) виртуальная работа всех активных сил при вариации d q m обобщенной координаты q m запишется в виде:

где (12.4)

Величину называют обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате q m . Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) d q 1 , d q 2 , ..., d q s , то полная виртуальная работа всех активных сил в обобщенных координатах

Из выражения (12.5) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы. Проецируя (11.4) на декартовые оси, получим

. (12.6)

Если все действующие силы потенциальные, то их проекции F n x , F n y , F n z на декартовые оси могут быть выражены через потенциальную энергию П системы согласно формулам:

(22.7)

Подставив (12.7) в (12.6), получим:

Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, обобщенная сила определяется взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате:

. (12.8)

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.

Пример 12.1 . Определить обобщенную силу математического маятника весом , если длина нити равна l . За обобщенную координату взять угол отклонения j маятника от вертикали (рис. 12.2).

Рис. 12.2 Рис. 12.3

Решение. Математический маятник является системой с одной степенью свободы (S = 1 ), так как для определения его положения достаточно задать один параметр.

Рассмотрим маятник в произвольном положении. За обобщенную координату q примем угол j . Активной силой, действующей на маятник, является сила тяжести .

Способ 1. Поскольку сила потенциальна, то для определения обобщенной силы Q воспользуемся формулой (12.8). Для вычисления потенциальной энергии П маятника направим ось х по вертикали вниз, взяв за начало отсчета потенциальной энергии точку О подвеса маятника, т.е. П(х= 0) = 0. Потенциальная энергия маятника равна работе силы тяжести на перемещении материальной точки из данного положения М в нулевое, т.е. П = –Р × х 1 = –Р × l × cos j . Согласно (12.8)

Способ 2. Наиболее распространен-ным методом вычисления обобщенной силы является её определение по формуле (11.4) Q m = d A m / d q m . Сообщим маятнику в данный момент времени виртуальное перемещение d j > 0, т.е. в сторону возрастания угла j (рис. 12.3), и вычислим элементарную работу силы тяжести на этом перемещении:

d A= – P × h × d j ,

где h = l × sin j , – плечо силы относительно центра вращения точки O . Следовательно,