Производственная функция показывает объем выпуска. Виды производственных функций. Деятельность фирмы в краткосрочном периоде

Производственная функция - это экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Производственная функция применяется для анализа влияния различных сочетаний факторов производства на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант) на различных уровнях экономики - от фирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом (агрегированная производственная функция, в которой «выпуском» служит показатель совокупного общественного продукта или национального дохода и т.п.).

В отдельной фирме, корпорации и т.п. производственная функция описывает максимальный объем выпуска продукции, которую они в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства. Она может быть представлена группой изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. Такой вид производственной функции, когда устанавливается зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, например, разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственными функциями используются как бы обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к производственным функциям с взаимозаменяемыми ресурсами).

Частными случаями производственной функции можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию (зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия) и др.

Виды производственных функций

Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Производственные функции бывают статические и динамические. Статические производственные функции имеют следующий вид:

Y = f (x1,x2,…xn)

Они не включают в себя показатель времени, т.е. не содержат время как фактор, изменяющий основные производственные характеристики изучаемой зависимости. Среди статических производственных функций наиболее часто встречаются линейные функции (y = a0 + a1x1 + a2x2) и функция Кобба-Дугласа.

Динамические производственные функции имеют следующий вид:

y = f (t , xi (t) …хn(t)),

xi (t) – представляет собой динамику изменения определенного производственного фактора в зависимости от времени;
t – представляет собой временную независимую переменную, которая в неявном виде отражает воздействие всех неучтенных факторов на результативность показателя у.

Синонимы

функция производства

Страница была полезной?

Еще найдено про производственная функция

Сравнение технической эффективности системно значимых российских банков на основе финансовой отчетности по российским и международным стандартам Фаррелу 11 Фаррел предложил определять техническую эффективность через отклонение от максимальной теоретической производственной функции Данный подход согласовывался с эконометрическим подразумевающим определение технической эффективности через ошибку в регрессионной
Влияние человеческого капитала на производительность труда в посткризисный период При выполнении исследований в работе строились эконометрические модели производственных функций вида Y A k а1 l а2 1 где Y - производительность труда
Современные проблемы формирования оборотного капитала предприятия На этом основании можно сделать вывод что оборотные средства выполняют две функции производственную и платежно-расчетную Выполняя производственную функцию оборотные средства авансируясь в оборотные производственные фонды обеспечивают
Проблемы оценки финансового положения виртуального предприятия Сложная постоянно изменяющаяся сетевая структура несколько объектов выполняющих определенные производственные функции Производственный процесс осуществляется не одним предприятием возможно не в одном регионе а доходы за
Использование управленческой отчетности при привлечении финансирования Какой-нибудь станок 40-летней давности может иметь крайне низкую или нулевую балансовую стоимость но при этом исправно выполнять свои функции в производственной цепочке и иметь далеко не нулевую и существенно отличающуюся от балансовой рыночную
Повышение эффективности управления производственными затратами на основе совершенствования процесса Для определения оптимального размера партии поставки материальных ресурсов при котором достигается наименьшая величина совокупных производственных затрат необходимо первую производную функции от размера партии поставки материальных ресурсов С и описываемую
Общая характеристика реальных возможностей минимизации налогов В этом случае на сумму дивидендов уменьшается налогооблагаемая прибыль при условии что на предприятии из такого источника производится финансирование капитальных вложений производственного и непроизводственного назначения строительство и реконструкция объектов социальной сферы Нередко встречаются случаи когда фирмы включают в... Производители при этом не выходили на мировой рынок передавая эту функцию посредникам Однако приобретали возможность использования налоговых льгот избегая платежей в бюджет Среди способов ухода
Факторы производства Анализ последствий различного сочетания основных факторов производства во втором значении или просто факторов предмет теории производственных функций и ряда других экономических теорий Кроме того следует учитывать что на эффективность производства
Нематериальные активы в российской и международной практике Представленная схема проведения трансформации финансовых показателей компании на основе обработки сведений указанных форм учетно-отчетных документов позволяет принимать эффективные управленческие решения и формировать эффективную стратегию ведения учета нематериальных активов как элемента производственной функции предприятия в условиях инновационной экономики Нематериальные активы по аналогии с объектами основных средств
Особенности анализа основных средств и финансовых вложений на основе новых форм отчетности (пояснения к бухгалтерскому балансу и отчету о прибылях и убытках) Что касается основных средств то их значение невелико поскольку компания является материнским обществом осуществляющим производственные функции в очень ограниченных масштабах Тем не менее на балансе компании имеются основные средства
Экономические факторы Одна из задач теории производственных функций - анализировать последствия различного сочетания экономических факторов производства во втором значении Кроме того
Микроэкономический анализ Например двухфакторная производственная функция показывает зависимость объема выпуска продукции от двух используемых факторов - труда и капитала
Формирование отчета о финансовых результатах как функция управления производственными ресурсами В связи с этим наиболее характерными для аграрной сферы являются риски производственный который может привести к убыткам в результате нарушения процесса производства выбытия основных фондов снижения... Таким образом аграрным предприятиям приходится функционировать в динамичных экономических условиях В связи с этим успешная деятельность в сельском хозяйстве во
Проектный подход как метод повышения экономической эффективности наукоемких промышленных предприятий Ферна рост современного производства невозможен без кастомизации унификации производимого продукта под индивидуальные требования каждого отдельного клиента что фактически стирает грань между проектом и процессом или функцией отдельного производственного объединения Каждый экземпляр процесса становится настолько особенным что есть смысл реализовать его
Нематериальные активы В зависимости от назначения и функций выполняемых в производственной деятельности выделяют следующие виды нематериальных активов интеллектуальную собственность промышленная собственность отложенные
Необходимость развития управленческого учета на современном этапе Управленческий учет по своему составу шире чем производственный поскольку через функции управления он превращает производственный учет в интегрированную систему внутрихозяйственного учета затрат и доходов организации В современных условиях управленческий... В современных условиях управленческий учет через свои функции выступает в качестве основного информационного фундамента управления внутренней деятельностью туристской организации ее стратегией и
Оценка устойчивости предприятия и оптимизация расходов на персонал Уровень организации производства использование рабочего времени работниками многостаночное обслуживание и совмещение профессий автоматизация и механизация основных вспомогательных и управленческих работ дублирование управленческих функций нормирование операций производственных процессов организация оплаты труда аттестации адаптации продвижения переобучение персонала Адекватность организационной
Использование методов стратегического анализа производственных затрат предприятия Использование метода формирования цепочки ценностей позволяет реализовать основной принцип стратегического управления производственными затратами заключающийся в необходимости анализа влияния внешней среды на финансово-хозяйственную деятельность предприятия для разработки гибкой функциональной стратегии управления производственными затратами и принятия эффективных управленческих решений Важной гипотезой реализуемой в методе
Управленческий анализ на российских предприятиях: становление и перспективы Анализ целесообразности аутсорсинга достаточно актуален поскольку на развитом рынке часто возникают ситуации когда предприятию предлагают приобрести какие-либо комплектующие узлы или детали осуществить те или иные производственные организационные или управленческие операции или функции по цене более низкой чем это обходится предприятию
Реинжиниринг в России: методика его применения На основании этого производится выбор технологий эффективных для данной организации. определение физической инфраструктуры когда выявляются характеристики производственных площадей оборудования состав расположение назначение функциональные особенности и др согласуются планы и проекты помещений

Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, - и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство.

Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.

Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных.

Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа.

При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.

Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов.

Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.

Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса.

Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона. Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q.

Производственная функция:

устанавливает связь между этими величинами. Заметим, что здесь, как и в других лекциях, все объемные величины - это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.

На Рис. 1 приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.

Рис. 1.

Производственная функция вида (1), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.

Значительно большее разнообразие появляется при рассмотрении производственной функции, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов:

q = f(x 1 , x 2) (2)

Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым.

Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов - затрат труда (L) и капитала (K):

q = f(L, K). (3)

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости.

Производственную функцию вида (2) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x 1 и x 2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 2). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x 1 и x 2 . Построение на Рис. 1 при этом можно рассматривать как вертикальный разрез "холма" плоскостью, параллельной оси x 1 и соответствующей фиксированному значению второй координаты x 2 = x * 2 .

Рис. 2.

Горизонтальный разрез "холма" объединяет варианты производства, характеризующиеся фиксированным выпуском продукта q = q* при различных сочетаниях затрат первого и второго ресурсов. Если горизонтальное сечение поверхности "холма" изобразить отдельно на плоскости с координатами x 1 и x 2 , получится кривая, объединяющая такие комбинации затрат ресурсов, которые позволяют получить данный фиксированный объем выпуска продукта (рис. 3). Такая кривая получила название изокванты производственной функции (от греч. isoz - одинаковый и лат. quantum - сколько).

Рис. 3.

Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов.

Можно использовать небольшое количество машин (т. е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте.

Зафиксировав объем выпуска продукта на другом уровне, мы получим другую изокванту той же самой производственной функции.

Выполнив серию горизонтальных разрезов на различных высотах, получим так называемую карту изоквант (рис. 4) - наиболее распространенное графическое представление производственной функции от двух аргументов. Она похожа на географическую карту, на которой рельеф местности изображен горизонталями (иначе - изогипсами) - линиями, соединяющими точки, лежащие на одинаковой высоте.

Рис. 4.

Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта - на кривую безразличия, карта изоквант - на карту безразличия. Позже мы убедимся в том, что свойства и характеристики производственной функции имеют много аналогий в теории потребления. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление. Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта "полезность" имеет вполне определенную количественную меру - она определяется объемом производимой продукции.

То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления.

Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.

Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и "полезности", выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, - покупая или отвергая его.

Набор производственных ресурсов в конечном счете окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.

Поскольку производственной функции присущи наиболее общие свойства функции полезности, мы можем далее рассмотреть основные ее свойства, не повторяя подробных рассуждений, приведенных во II части.

Будем считать, что увеличение затрат одного из ресурсов при неизменных затратах другого позволяет увеличить выход продукции. Это значит, что производственная функция - возрастающая функция каждого из своих аргументов. Через каждую точку плоскости ресурсов с координатами х 1 , х 2 проходит единственная изокванта. Все изокванты имеют отрицательный наклон. Изокванта, отвечающая большему выходу продукта, располагается правее и выше изокванты для меньшего выхода. Наконец, все изокванты будем считать выпуклыми в направлении начала координат.

На Рис. 5 изображены некоторые карты изоквант, характеризующие различные ситуации, возникающие при производственном потреблении двух ресурсов.Рис. 5,а соответствует абсолютному взаимозамещению ресурсов. В случае, представленном на Рис. 5,б, первый ресурс может быть полностью замещен вторым: точки изоквант, расположенные на оси х 2 показывают количество второго ресурса, позволяющее получить тот или иной выход продукта без использования первого ресурса. Использование первого ресурса позволяет сократить затраты второго, но полностью заменить второй ресурс первым невозможно.

Рис. 5,в изображает ситуацию, в которой оба ресурса необходимы и ни один из них не может быть полностью замещен другим. Наконец, случай, представленный на Рис. 5,г, характеризуется абсолютной взаимодополняемостью ресурсов.

Рис. 5.

Производственная функция, зависящая от двух аргументов, имеет довольно наглядное представление и сравнительно проста для расчетов. Нужно заметить, что в экономике используются производственные функции различных объектов - предприятия, отрасли, национального и мирового хозяйства. Чаще всего это функции вида (3); иногда добавляют третий аргумент - затраты природных ресурсов (N):

q = f(L, K, N). (3)

Это имеет смысл, если количество природных ресурсов, вовлекаемых в производственную деятельность, является переменным.

В прикладных экономических исследованиях и в экономической теории используются производственные функции разных типов. Их особенности и различия будут обсуждаться в разделе 3. В прикладных расчетах требования практической вычислимости заставляют ограничиться небольшим числом факторов, и эти факторы рассматриваются укрупненно - "труд" без подразделения по профессиям и квалификации, "капитал" без учета его конкретного состава, и т. д. При теоретическом анализе производства можно отвлечься от трудностей практической вычислимости. Теоретический подход требует каждый вид ресурса считать абсолютно однородным. Сырье различных сортов должно рассматриваться как различные виды ресурсов, точно так же, как машины различных марок или труд, различающийся по профессиональному и квалификационному признакам.

Таким образом, используемая в теории производственная функция - это функция большого числа аргументов:

q = f(x 1 , x 2 , ..., x n). (4)

Такой же подход применялся и в теории потребления, где число видов потребляемых благ никак не ограничивалось.

Все, что было ранее сказано о производственной функции двух аргументов, может быть перенесено и на функцию вида (4), разумеется, с оговорками, касающимися размерности.

Изокванты функции (4) - это не плоские кривые, а n-мерные поверхности. Тем не менее мы и в дальнейшем будем пользоваться "плоскими изоквантами" - и в иллюстративных целях, и как удобным средством анализа в случаях, когда затраты двух ресурсов являются переменными, а остальных считаются фиксированными.

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Производственная функция
Рубрика (тематическая категория)	Экономика

Производственная функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Производственная функция" 2017, 2018.

- Факторы производства и их взаимодействие. Производственная функция

В конкретных условиях производства товаров и услуг необходимы три основополагающих фактора: рабочая сила (живой труд), капитал (затраты овеществленного труда) и природные ресурсы. Техническую зависимость между различным сочетанием количества применяемых... .

- ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ЗАКОН УБЫВАЮЩЕЙ ОТДАЧИ. ЭФФЕКТ МАСШТАБА

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая... .

- Производственная функция. Закон убывающей отдачи.

Предприятие как хозяйствующий субъект. Организационно-правовые формы предприятий. Фирма (предприятие) – основная деловая единица рыночной экономики, которая: 1)формирует спрос на ресурсы, 2)производит и предлагает готовые товары и услуги, 3)осуществляет... .

- Производственная функция.

План. Тема 5. Теория производства. Предприятие (фирма) в рыночной экономике. Производственная функция. Экономические издержки. Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долгосрочном периоде. Четыре модели рынка. Чистая... .

- Производственная функция.

Технология производства и технологические ограничения. Производство – процесс использования рабочей силы и оборудования в сочетании с природными ресурсами и материалами для изготовления необходимых товаров и услуг. Факторы процесса производства... .

- Производственная функция как матрица.

Технически эффективная область производства Имеются два общих типа технического прогресса: нейтральный и ненейтральный. Нейтральный технический прогресс выражается в изменении эффективности технологии и уровня технологической отдачи на единицу масштаба... .

- Производственная функция и равновесие производителя

Фактора в процессе перехода к новым технологиям В заключение еще несколько слов о взаимосвязи предельного и среднего продукта. Предельный продукт для какой-либо точки на кривой совокупного выпуска равен тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке. Для...

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО- ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

ЭКОНОМЕТРИКА

Производственные функции

(Материалы к лекции)

Подготовила доцент кафедры

Филонова Е.С. (филиал в г. Орле)

Текст лекции на тему «Производственные функции»

по дисциплине «Эконометрика»

План:

Введение

Понятие производственной функции одной переменной

Производственные функции нескольких переменных

Свойства и основные характеристики производственных функций

Примеры использования производственных функций в задачах экономического анализа, прогнозирования и планирования

Основные выводы

Тесты контроля усвоенного материала

Литература

Введение

В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей люди вынуждены обмениваться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому большой интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые формируют в дальнейшем их предложение на рынке.

Производственный процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?

Каждый знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие исходные материалы, оборудование, помещение, клочок земли, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.

Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией .

Понятие производственной функции одной переменной

Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае п роизводственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика

где а – вектор параметров ПФ.

Пример 1. Возьмем ПФ f в виде f(x)=ax b , где х – величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) – объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b – параметры ПФ f. Здесь a и b – положительные числа и число b1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). ПФ у=ax b является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

График ПФ изображен на рисунке 1

На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса y растет. однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

В качестве простого примера возьмем однофакторную производственную функцию, характеризующую производство фермером какого-либо сельскохозяйственного продукта. Пусть все факторы производства, такие как величина земельных угодий, наличие у фермера сельскохозяйственной техники, посевного материала, количество труда, вложенного в производство продукта, остаются из года в год постоянными величинами. Меняется только один фактор – количество применяемых удобрений. В зависимости от этого изменяется величина получаемого продукта. Вначале, с ростом переменного фактора, она увеличивается достаточно быстро, затем рост общего продукта замедляется, а начиная с определенных объемов применяемых удобрений, величина получаемого продукта начинает убывать. Дальнейшее увеличение переменного фактора не дает увеличения продукта.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=ax b , рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий затрачиваемого или используемого ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых задач, наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах или в рублях выплаченной заработной платы; выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные агрегаты, то есть суммарные величины произведений объемов затрачиваемых ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Производственные функции нескольких переменных

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)

В формуле (2) у (у0) – скалярная, а х – векторная величина, x 1 ,…,х n --координаты вектора х, то есть f(x 1 ,…,х n) есть числовая функция нескольких переменных x 1 ,…,х n . В связи с этим ПФ f(x 1 ,…,х n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x 1 ,…,х n ,а), где а – вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу все переменные этой функции неотрицательны, следовательно, областью определения многофакторной ПФ является множество n-мерных векторов х, все координаты x 1 ,…,х n которых неотрицательные числа.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x 1 ,…,х n) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х 1 (=К) – объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х 2 (=L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ y=f(x 1 ,x 2) называется статической , если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: x 1 (0), x 1 (1),…, x 1 (Т); x 2 (0), x 2 (1),…, x 2 (Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т; t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.

Пример 2. Для моделирования отдельного региона или страны в целом (то есть для решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида y=
, где а 0 , а 1 , а 2 – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а 1 и а 2 таковы, что а 1 +а 2 =1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г.

ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х 1 =К равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов – в отечественной терминологии),
- затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Y=
.

Историческая справка

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (Y ), капитальных вложений (К) и затрат труда (L ), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филиппом Уикстидом, как было указано Ч.Коббом и П.Дугласом в их классической работе (1929 г.), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные. Авторы не описывают, каким образом они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали форму регрессионного анализа, так как ссылались на «теорию наименьших квадратов».

Пример 3. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид:
(двухфакторная) и (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

этот переход имеет вид: . Вводя соответствующую замену, получим аддитивную ПФ .

Если сумма показателей степени в ПФ Кобба-Дугласа равна единице, то ее можно записать в несколько другой форме:

т.е.
.

Дроби
называются соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получаем

т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. В связи с тем, что 0 1

Отметим, что дробь называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

ПФ называется динамической , если:

время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным временных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью лет, то экстраполяционные расчеты по такой ПФ следует проводить не более, чем на 1/3 лет вперед.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП
, где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

(t=0,1,…,Т).

Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

Пример 4. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП

Расчет численных значений параметров такой функции проводится с помощью корреляционного и регрессионного анализа.

Выбор аналитической формы ПФ
диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами или экономических закономерностей. Оценка параметров ПФ обычно проводится методом наименьших квадратов.

Свойства и основные характеристики производственных функций

Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные производственные функции обладают рядом общих свойств.

Для определенности ограничимся производственными функциями двух переменных
. Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при. ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

Подобно линии уровня целевой функции оптимизационной задачи, для ПФ также имеет место аналогичное понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

Из рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

Изокванты обладают следующими свойствами :

Изокванты не пересекаются.

Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.

Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS ) . Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:

На рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

Если взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к ней касательную КМ, то тангенс угла даст нам значение MRTS:

Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

Один из наиболее интересных примеров использования изоквант ПФ – это исследование эффекта масштаба производства (см. свойство 7).

Что эффективнее для экономики: один крупный завод или несколько мелких предприятий? Ответ на этот вопрос не так прост. Плановая экономика отвечала на него однозначно, отдавая приоритет промышленным гигантам. С переходом к рыночной экономике началось повсеместное разукрупнение созданных ранее объединений. Где же золотая середина? Доказательный ответ на этот вопрос можно получить, исследовав эффект масштаба производства.

Представим, что на обувной фабрике руководство приняло решение значительную часть полученной прибыли направить на развитие производства с целью увеличения объемов производимой продукции. Допустим, что капитал (оборудование, станки, производственные площади) увеличен в два раза,. Численность работников увеличилась в такой же пропорции. Возникает вопрос, что произойдет в таком случае с объемом выпускаемой продукции?

Из анализа рисунка 5

следуют три варианта ответа:

Количество продукции возрастет в два раза (постоянная отдача от масштаба);

Увеличится более, чем в два раза (возрастающая отдача от масштаба);

Увеличится, но меньше, чем в два раза (убывающая отдача от масштаба).

Постоянная отдача от масштаба производства объясняется однородностью переменных факторов. При пропорциональном увеличении капитала и труда на таком производстве средняя и предельная производительность этих факторов останется неизменной. В таком случае безразлично, будет ли работать одно крупное предприятие или вместо него будет создано два мелких.

При убывающей отдаче от масштаба невыгодно создавать крупное производство. Причиной низкой эффективности в таком случае, как правило, являются дополнительные затраты, связанные с управлением подобным производством, сложности координации крупного производства.

Возрастающая отдача от масштаба, как правило, характерна, для тех производств, где возможна широкая автоматизация производственных процессов, применение поточных и конвейерных линий. Но с тенденцией возрастающей отдачи от масштаба нужно быть очень осторожным. Рано или поздно она превращается в постоянную, а затем и в убывающую отдачу от масштаба.

Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида
.

Как уже было отмечено выше, отношение
(i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ
(i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин
. Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Например, в ПФКД для средних производительностей основного капитала у/К и труда у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

Определим для этой функции предельные производительности факторов:

Таким образом, если
, то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности
i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Сумма +=Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД =, и Е= .

Производственные функции позволяют количественно проанализировать важнейшие экономические зависимости в сфере производства. Они дают возможность оценить среднюю и предельную эффективность различных ресурсов производства, эластичность выпуска по различным ресурсам, предельные нормы замещения ресурсов, эффект от масштаба производства и многое другое.

Пример 1. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска

Оценим основные характеристики этой функции для способа производства, при котором К=400, а L=200.

Решение.

Предельные производительности факторов.

Для расчета этих величин определим частные производные функции по каждому из факторов:

Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает аналогичную величину для фактора капитал.

Эластичность производства.

Эластичность производства определяется суммой эластичностей выпуска по каждому фактору, то есть

Предельная норма замещения ресурсов.

Выше в тексте эта величина обозначалась и равнялась . Таким образом, в нашем примере

то есть для замещения единицы труда в этой точке необходимы четыре единицы ресурсов капитала.

Уравнение изокванты.

Для определения формы изокванты необходимо зафиксировать значение объема выпуска (Y). Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет вид

Предельная норма замещения ресурсов определяет тангенс угла наклона касательной к изокванте в соответствующей точке. Используя результаты п. 3, можно сказать, что точка касания расположена в верхней части изокваны, так как угол достаточно велик.

Пример 2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа в общем виде

Предположим, что K и L удваиваются. Таким образом, новый уровень выпуска (Y) запишется следующим образом:

Определим эффект от масштаба производства в случаях, если >1, =1 и

Если, например, =1,2, а
=2,3, то Y увеличивается больше, чем в два раза; если =1, а =2, то удвоение К и L приводит к удвоению Y; если =0,8, а =1,74, то Y увеличивается меньше, чем в два раза.

Таким образом, в примере 1 мог наблюдаться постоянный эффект от масштаба производства.

Историческая справка

В своей первой статье Ч.Кобб и П.Дуглас изначально предполагали постоянную отдачу от масштаба. Впоследствии они ослабили это допущение, предпочитая оценивать степень отдачи от масштаба производства.

Основная задача производственных функций все же – дать исходный материал для наиболее эффективных управленческих решений. Проиллюстрируем вопрос принятия оптимальных решений на основе использования производственных функций.

Пример 3. Пусть дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов

откуда получим решение , при котором у=2. Поскольку, например, точка (0,2,0) принадлежит допустимой области и в ней у=0, то делаем вывод, что точка (1,1,1) – точка глобального максимума. Экономические выводы из полученного решения очевидны.

В заключение отметим, что производственные функции можно использовать для экстарполяции экономического эффекта производства в заданный период будущего. Как и в случае обычных эконометрических моделей, экономический прогноз начинают с оценки прогнозных значений факторов производства. При этом можно использовать наиболее подходящий в каждом отдельном случае способ экономического прогноза.

Основные выводы

Тесты для проверки усвоенного материала

Выберите правильный ответ.

Что характеризует производственная функция?

А) общий объем использованных производственных ресурсов;

Б) наиболее эффективный способ технологической организации производства;

В) взаимосвязь затрат и максимального объема выпуска продукции;

Г) способ минимизации прибыли при условии минимизации затрат.

Какое из представленных уравнений есть уравнение производственной функции Кобба-Дугласа?

Г) y=
.

3. Что характеризует производственная функция с одним переменным фактором?

А) зависимость объема производства от цены на фактор,

Б) зависимость, при которой фактор х изменяется, а все остальные остаются постоянными,

В) зависимость, при которой все факторы изменяются, а фактор х остается постоянным,

Г) зависимость между факторами х и у.

4. Карта изоквант – это:

А) набор изоквант, показывающий выпуск продукции при определенном сочетании факторов;

Б) произвольный набор изоквант, показывающий предельную норму производительности переменных факторов;

В) комбинации линий, характеризующих предельную норму технологического замещения.

Верны или неверны утверждения?

Производственная функция отражает взаимосвязь используемых факторов производства и отношения предельных производительностей труда этих факторов.

Функция Кобба-Дугласа – это производственная функция, показывающая максимальный объем продукта при использовании труда и капитала.

Не существует предела роста произведенного продукта при одном переменном факторе производства.

Изокванта – это кривая равного продукта.

Изокванта показывает все возможные комбинации использования двух переменных факторов для получения максимального продукта.

Литература

Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.

Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.

Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.

Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. – М.: ВЗФЭИ, 2001.

Овчинников Г.П.. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Изд-во им. Володарского, 1997.

Политическая экономия; экономическая энциклопедия. – М.: Изд. «Сов. Энциклопедия», 1979.

функция (2)Закон >> Экономика

Производство). 3.2 Производственная функция и ее графическое пояснение Производственная функция определяет максимальный объем... в соответствии с заданной производственной функцией . Типичным видом производственной функции является зависимость, формула, ...

Производственная функция фирмы, изокванта и изокоста

Задача >> Экономика

Привлекаемых факторов производства отражает производственная функция . Производственная функция указывает на возможный максимальный... его обозначения в формуле производственной функции используется символ f. Производственная функция позволяет: - определить...

Производственная функция фирмы

Реферат >> Экономика

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ …..7 ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ . 2.1. Производственная функция Кобба-Дугласа……………………………..13 2.2. Производственная функция CES…………………………………………13 2.3. Производственная функция с фиксированными пропорциями...

Зависимость количества производимых товаров от соответствующих факторов производства, с помощью которых она изготавливается. Рассмотрим это понятие более подробно.

Производственная функция всегда имеет конкретный вид, так как она предназначена для определенной технологии. Внедрение новых технологических разработок влечет за собой изменение или создание нового вида зависимости.

Данная функция используется для поиска оптимального (минимального) количества затрат, которые необходимы для изготовления определенного количества товаров. Для всех производственных функций, в независимости от того, какой они выражают, характерны такие общие свойства:

Рост объема производимых товаров за счет только одного фактора (ресурса) имеет конечный предел (в одном помещении может нормально работать только определенное число рабочих, поскольку количество мест ограничено площадью);

Факторы производства могут быть взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми (работники и инструменты).

В самом общем виде производственная функция выглядит так:

Q = f (K, L, M, T, N), в этой формуле

Q — объем произведенных товаров;

K — оборудование (капитал);

М — затраты на материалы и сырье;

Т — используемые технологии;

N — предпринимательские способности.

Виды производственных функций

Существует множество типов этой зависимости, которые учитывают влияние как одного, так и нескольких наиболее важных факторов. Однако наибольшую известность получили два основных вида производственной функции: двухфакторная модель вида Q = f (L; K) и функция Кобба-Дугласа.

Двухфакторная модель Q = f (L; K)

Эта модель рассматривает зависимость объема производства (Q) от (L) и капитала (L). Довольно часто для анализа этой модели используется группа изоквант. Изокванта - это такая кривая, которая соединяет все возможные точки сочетаний позволяющих выпускать конкретный объем товаров. На оси X обычно отмечают затраты труда, а на оси Y - капитала. На одном и том же графике рисуют несколько изоквант, каждая из которых соответствует определенному объему продукции при использовании конкретной технологии. В итоге получается карта изоквант с разными количествами изготавливаемых товаров. Она и будет являться производственной функцией для данного предприятия.

Для изоквант характерны следующие общие свойства:

Вогнутый и нисходящий вид изокванты связан с тем, что уменьшение использования капитала при стабильном объеме выпускаемых товаров вызывает рост затрат труда;

Вогнутая форма кривой изокванты зависит от предельно допустимой нормы технологического замещения (то количество капитала, которое может заменить 1 дополнительная единица труда).

Функция Кобба-Дугласа

Эта производственная функция, названная в честь двух американских первооткрывателей, где общий объем выпущенной продукции Y находится в зависимости от используемых в процессе производства ресурсов, например, труда L и капитала К. Ее формула:

где α и b - это константы (α>0 и b>0);

K и L - соответственно капитал и труд.

Если сумма констант α и b равна единице, то принято считать, что у такой функции присутствует постоянный производства. Если параметры К и L умножаются на какой-либо коэффициент, то Y также нужно умножить на этот же коэффициент.

Модель Кобба-Дугласа вполне можно применить для какой-либо отдельной фирмы. В этом случае α - это доля общих затрат идущая на капитал, а β - доля, идущая на труд. Модели Кобба-Дугласа также могут содержать более двух переменных. К примеру, если N - это то производственная функция приобретает вид Y=AKαLβNγ, где γ - константа (γ>0), а α + β +γ = 1.